Determinare i valori dei poli e degli zeri

[Raeiu]

Buongiorno a tutti. Sono ritornato con un nuovo quesito riguardante i sistemi dinamici...La traccia mi chiede di determinare il valore dei poli e dello zero della seguente funzione di anello:



sapendo che:



sarebbe il centro della stella degli asintoti
il diagramma del luogo delle radici interseca l'asse immaginario nel punto

Io ho fatto in questo modo:

sapendo che ho impostato l'equaione del centro della stella degli asintoti così

.

Determinati i valori di e ho studiato la funzione a ciclo chiuso ottenendo al denominatore un polinomio di terzo grado.

Io ho risolto un esercizio simile a questo determinando le radici del polinomio al denominatore (che era di grado 2) e sostituendo a s il valore in cui il luogo delle radici intersecava l'asse immaginario, ottenevo il valore che volevo.

in questo caso però mi ritrovo con un polinomio di terzo grado nella variabile che non so risolvere o meglio so che non esiste un algoritmo per calcolare le radici di un polinomio di grado 3 ma solo metodi numerici che sinceramente non conosco. Cosa dovrei fare?

[Raeiu]

Mi sono accorto che c'è un errore di calcolo: .

Rivedendo un altro esercizio mi è venuto in mente che potrei utilizzare ruffini per determinare la radici del polinomio e di conseguenza determinare il valore di .

facendo le dovute sostituzioni:



facendo i dovuti calcoli dovrei trovare quel valore che sommato a mi dia zero e di conseguenza trovare il valore di ma qua non sono convinto in quanto i calcoli sono un po laboriosi e il professore disse che non c'erano calcoli laboriosi da fare oltre al fatto che non so se il ragionamento è giusto.

[GioArca67]

Perché 30 e 45 e non 60 e 90?
Criterio di Routh?

[Raeiu]

ciao GioArca67, grazie per la risposta. La tua prima domanda non ho capito a cosa ti riferisci. Per quanto riguarda Routh io so che è un metodo che serve a determinare la stabilità a ciclo chiuso in base ai segni senza preoccuparsi dei valori numerici o meglio, il mio professore ha detto che non importa il valore che mi ritrovo l'importate è il segno. Ora non so se posso comunque utilizzarlo.

[GioArca67]

Puoi utilizzarlo per vedere quando le radici passano per l'asse immaginario.
Da dove ti viene 30+45p1

[Raeiu]

Ho studiato il denominatore a ciclo chiuso: K(s+z)+s(s+p1)(s+p2). Per quanto riguarda il criterio di Routh non ci avevo pensato di usarlo per determinare le intersezioni con l'asse immaginario. Indendi risolvendo l'equazione ausiliaria del secondo ordine giusto?

"Ho studiato il denominatore a ciclo chiuso: K(s+z)+s(s+p1)(s+p2)": in realtà ho sbagliato era 15/2 il valore di K ma non è importante questo. Mi interessava il metodo risolutivo se andava bene o no.

[GioArca67]

Se non ci sono alternanze sulla prima colonna, le radici sono a parte reale negativa,
se il primo termine di una sola riga cambia segno hai 2 radici a parte reale positiva
Per cambiare segno un termine dipendente da k vuol dire che il termine è passato per lo zero
Allora vedi quando il k ti annulla il primo termine di una riga: per quel k stai sull'asse immaginario (né negative né positive) infatti se sommi un epsilon positivo piccolo a piacere non hai alternanze (-> tutte negative) se sottrai un epsilon positivo piccolo a piacere hai 2 alternanze (-> 2 radici hanno attraversato (basse e son diventate a parte reale positiva).
Ma poiché le radici non saltano ma si muovono nel continuo il k che annulla un termine identifica 2 radici sull'asse immaginario.

[Raeiu]

Proverò...ma più parlo con voi più mi rendo conto che il corso è stato fatto male. Per esempio "Per cambiare segno un termine dipendente da k vuol dire che il termine è passato per lo zero" non ho proprio idea di cosa voglia dire. A me hanno spiegato solamente che la tabella di Routh serve per determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso e per vedere se il sistema è stabile o meno devo vedere la variazione dei segni della prima colonna. Stop. poi va beh al variare di K posso dire quando un sistema diventa instabile ma oltre questo niente di più.

[GioArca67]

Supponi che sulla prima riga di una colonna hai 3-2k e tutti gli altri termini sono numerici e positivi.
Allora se 3-2k è positivo non hai alternanze di segno e tutte le radici sono negative: sistema stabile.
Se invece diventasse negativo avresti 2 alternanze e quindi 2 radici son passate a destra
Ma le radici non saltano quindi quando è zero (cioè quando k=3/2) le radici stanno sull'asse immaginario.

[Raeiu]

Ah ok avevo inteso "zero" come lo zero della funzione di trasferimento e non capivo quella frase. Ma questo lo so. Forse stiamo dicendo la stessa cosa: io ho K=15/2 e so che per questo valore di K il luogo interseca l'asse immaginario in j5. Ora l'incognita invece che in K ce l'ho in p1. Analizzando l'equazione associata di secondo grado, avendo i valori di K e l'intersezione dovrei ottenere p1. Ho invertito, diciamo così, il procedimento per trovare l'intersezione in modo da trovare il polo.

Mi verrebbe:



per k=15/2.

Ponendo s per esempio pari a +j5 e elando ambo i mebri al quadrato otterrei:



Edit: ho svolto i conti e non tornano. Oltre al fatto che non interseca l'asse immaginario.