trasformata Fourier segnale sinusoidale campionato

[AndreaBad]

buongiorno a tutti,
sto facendo alcune considerazioni riprendendo alcuni appunti di teoria di segnali, e volevo un confronto.

Supponiamo di avere un segnale sinusoidale a frequenza fo. La trasformata di Fourier FT sarà formata da due impulsi a +fo e -fo.
_↑_____|____↑
(-fo)___0___(+fo)

Ora supponiamo di campionare il segnale sinusoidale. La frequenza di campionamento fs è sufficientemente alta tale da non prevedere aliasing. La risposta in frequenza del segnale campionato sarà una ripetizione periodica con periodo fs della precedente con impulsi come di seguito:
_↑_____|____↑__________________↑__________↑__________________↑__________↑____
(-fo)___0___(+fo)_____________(fs-fo)___fs__(fs+fo)____________(2fs-fo)__2fs__(2fs+fo)

questo qualsiasi sia la frequenza di campionamento, per la proprietà della trasformata.

ora il dubbio: su molti libri di testo viene indicato che se si campiona una sinusoide, il segnale a tempo discreto non è necessariamente periodico 1/fo, dipende se la frequenza di campionamento fs e fo stanno in rapporto razionale (precisamente commensurabili, ma non è il tema di questa nota). Ad esempio il segnale campionato potrebbe essere periodico ma di periodo maggiore di 1/fo, oppure se fs e fo non sono in rapporto corretto, il segnale campionato segue l'inviluppo della sinusoide continua, ma non è periodico.

domande:

- indipendentemente dalla frequenza di campionamento fs e dal rapporto tra fs e fo, avremo sempre una risposta in frequenza periodica di periodo fs con gli impulsi disposti come indicato sopra. Non dovrebbe importare se il segnale discretizzato nel tempo sia o meno periodico, la risposta in frequenza dovrebbe essere quella.

-credo che la nota sul rapporto fs e fo venga riportata sui libri di testo per la seguente considerazione, probabilmente legata al calcolo della DFT trasformata discreta. Nel caso in cui il segnale discreto venga finestrato e volessimo calcolare da DFT "esatta" della sinusoide dovremmo avere che il segnale campionato:
*sia una sinusoide discreta periodica (questo sarà possibile solo se il segnale campionato è periodico, vedi rapporto tra fs e fo razionale)
**per la DFT occorre prendere una finestra di campioni adeguato ad un periodo.
Nel caso in cui il segnale discreto non sia periodico (vedi rapporto fs e fo), qualsiasi finestra di campioni della DFT non rappresenta il segnale sinusoidale di partenza. Quindi il calcolo della DFT non fornisce esattamente due impulsi, ma li approssima con impulsi tipo "sinc" centrati alle frequenze (fo...) della sinusoide campionata.

chiedo un parere.
grazie.

[rugweri]

Osserva il comportamento nel tempo della sequenza per diversi valori della frequenza discreta (immagine presa da qui):

Il periodo è sempre ? E se non lo è, perché?

(Indizio: prova a sovrapporre alla rappresentazione della sequenza quella di una sinusoide continua avente il medesimo periodo)


EDIT: volendo aiutarti ho fatto io il disegno del caso per te usando MATLAB. Il codice è il seguente:

Codice: Seleziona tutto

n = [0:50]
y = cos(2 * pi * 0.3 * n)
x = [0:0.01:50]
yc = cos(2 * pi * 0.3 * x)
plot(n, y, 'o', x, yc)
ylim([-2, 2])
xlabel('n')
ylabel('y')


E il grafico ottenuto è questo:

[AndreaBad]

Buongiorno rugweri,
chiarissimo. ottieni sinusoidi periodiche campionate se
fo/fs = ts/ to = K / N
con N e K interi, se K=1 il segnale campionato ha periodo uguale a quello a tempo continuo, come nel tuo caso.

Ad ogni modo, I miei due dubbi sono legati alla trasformata di fourier non al segnale nel tempo.