ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **StrikeD** » 5 gen 2023, 10:44

Buongiorno,
sto cercando di svolgere la seguente traccia:
Studiare la funzione
$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x}{1+x^{3}}$
Tracciandone il grafico approssimato
Nota: si può studiare anche senza conoscere il segno della derivata prima, ma usando quello della derivata seconda

Ho provveduto a calcolare la derivata prima ottenendo
$f'(x)=\frac{-3x^{4}-8x^{3}+3x^{2}+6x+4}{(1+x^{3})^{2}}$

Come indicato nella traccia viene consigliato di usare il segno della derivata seconda per lo studio della funzione.
Calcolando la derivata seconda viene fuori questo:

: derivata seconda.jpg (6.55 KiB) Osservato 30110 volte

L'impressione è che anziché semplificare, la derivata seconda complichi le cose e non riesco quindi a procedere con lo studio della concavità e convessità della funzione.

Ho commesso qualche errore?
Se no, siccome devo svolgere altri esercizi simili, volevo chiedervi qual è la logica con cui procedere con lo studio di funzioni in situazioni come questa. C'è un modo per semplificare la derivata seconda e renderla utilizzabile?

da **boiler** » 5 gen 2023, 10:59

Per favore usa LaTeX per scrivere le formule (come da regolamento del forum), non fare copia-e-incolla da Wolfram Alpha.

Qui c'è una piattaforma che ti aiuta: https://www.codecogs.com/eqnedit.php

Boiler

da **StrikeD** » 5 gen 2023, 11:03

Sì ho notato solo dopo il tag "Tex". Comunque ho fatto lo screenshot dopo aver scritto la formula usando il sistema di formule di word. Provvedo a correggere

Non riesco più a modificare il post. La derivata seconda scritta in Latex è
$f''(x)=\frac{6(x^{6}+4x^{5}-2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+x+1)}{(1+x^{3})^{3}}$

da **MarcoD** » 5 gen 2023, 12:19

Forse serve cercare i max, min solo attorno a 1 (max) e a -2 (min)

da **PietroBaima** » 5 gen 2023, 12:55

$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x}{1+x^{3}}$

invece di impazzire di calcoli...

$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x+1-1}{1+x^{3}}$

$f(x)=1+\frac{3x^{2}+4x-1}{1+x^{3}}$

definisco

$g(x)=3x^{2}+4x-1$ e h(x)=1+x^3

per cui $f(x)=1+\frac{g(x)}{h(x)}$

$\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=(g^\prime h-gh^\prime)/g^2$

$\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=0 \Leftrightarrow g^\prime h=gh^\prime$

da **ragnol** » 5 gen 2023, 14:40

PietroBaima ha scritto:
$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x+1-1}{1+x^{3}}$

$f(x)=1+\frac{3x^{2}+4x-1}{1+x^{3}}$

Scusa PietroBaima, magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma sei sicuro di poter portare quell'1 davanti alla frazione senza denominatore?

da **StrikeD** » 5 gen 2023, 14:56

Mi permetto di rispondere io. Quell'1 in realtà sarebbe
$\frac{1+x^{3}}{1+x^{3}}=1$

da **ragnol** » 5 gen 2023, 15:09

Infatti mi ero perso in un bicchiere d'acqua, non avevo mica visto che era sparito X^3....

Pensassi 6 volte prima di scrivere...

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Studio di funzione usando segno derivata seconda

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