Analisi rete di Colpitts

Messaggioda **cianfa72** » 5 ago 2024, 12:05

Ciao,
stavo rivedendo gli appunti di elettronica sui circuiti risonanti.

In particolare nel libro di Elettronica del prof. Marietti viene detto che in condizioni di risonanza della rete sotto riportata (rete di Colpitts) in pratica dal punto di vista dell'ingresso (ovvero guardando a monte della resistenza R2) si vede la resistenza $R_{in} = R_1 {(C_1/C_2)^2}$ .

: Rete di Colpitts

Ho riprovato a sviluppare tutti i conti utilizzando la pulsazione di risonanza $\omega_0^ 2 = \frac {C_1 + C_2} {LC_1C_2}$ .

In sostanza la formula che trovo e' la seguente:

$R_{in} = R_1 \left[ (C_1/C_2)^2 + \frac {\omega_0^2L^2} {R_1^2} \right ]$

Ora la mia impressione e' che in realta' si possa trascurare il secondo termine in parentesi. Cosa ne pensate ?

Messaggioda **MarcoD** » 5 ago 2024, 15:10

Fai un esempio numerico, per verificare se è trascurabile.
Poni C1 = C2 per semplificare.
Poni: R1= 10 kohm, F0 =1MHz, C1 = 100. pF.

Messaggioda **cianfa72** » 5 ago 2024, 15:48

MarcoD ha scritto:Fai un esempio numerico, per verificare se è trascurabile.
Poni C1 = C2 per semplificare.
Poni: R1= 10 kohm, F0 =1MHz, C1 = 100. pF.

A conti fatti abbiamo:

$(C_1/C_2)^2=1, L=200*10^{-4} H$
$\omega_0^2L^2/R_1^2=4$

che non mi sembra affatto trascurabile. Secondo me ci sono ipotesi di progetto che intervengono, ad esempio nella pagina successiva

Messaggioda **cianfa72** » 6 ago 2024, 11:54

Tra l'altro: data una rete posso definire diverse funzioni di rete scegliendo diverse coppie di variabili di porta (tensione, corrente).

Per un data funzione di rete e' possibile definire una risonanza $\omega_0$ rispetto al fatto che sull'asse $s=j\omega$ la fase risulta zero o comunque un multiplo intero di $\pi$ .

Ora la domanda e': tutte le funzioni di rete dovrebbero condividere lo stesso denominatore della rappresentazione come rapporto di polinomi nella variabile

. Tuttavia il polinomio a numeratore e' diverso per funzioni di rete.

Quindi in realta' il concetto di risonanza e' specifico di una funzione di rete e quindi in generale non c'e' corrispondenza tra le diverse funzioni di rete, corretto ?

Messaggioda **BrunoValente** » 6 ago 2024, 14:31

cianfa72 ha scritto:...In sostanza la formula che trovo e' la seguente:

$R_{in} = R_1 \left[ (C_1/C_2)^2 + \frac {\omega_0^2L^2} {R_1^2} \right ]$

Ora la mia impressione e' che in realta' si possa trascurare il secondo termine in parentesi. Cosa ne pensate ?

Mi pare che la tua impressione sia giusta ma solo se effettivamente il secondo termine si può trascurare e la condizione di risonanza da sola non lo garantisce perché la si può ottenere con diversi valori del fattore di merito Q e il secondo termine altro non è che l'inverso del quadrato del fattore di merito $\frac{1}{Q^{2}}$ del circuito risonante (parallelo).

In pratica, alla risonanza, l'approssimazione è tanto migliore quanto più è grande il valore del fattore di merito, cioè quanto più è stretto il picco di risonanza.

Messaggioda **cianfa72** » 7 ago 2024, 13:56

BrunoValente ha scritto:Mi pare che la tua impressione sia giusta ma solo se effettivamente il secondo termine si può trascurare e la condizione di risonanza da sola non lo garantisce perché la si può ottenere con diversi valori del fattore di merito Q e il secondo termine altro non è che l'inverso del quadrato del fattore di merito $\frac{1}{Q^{2}}$ del circuito risonante (parallelo).

In pratica, alla risonanza, l'approssimazione è tanto migliore quanto più è grande il valore del fattore di merito, cioè quanto più è stretto il picco di risonanza.

Alla pulsazione $\omega_0$ la resistenza R_1

si trasforma in $R_{1s} = \frac {R_1} {1 + Q_{c1}^2}, Q_{c1}=\omega_0R_1C_1$ .
Ora abbiamo $A = \frac {\omega_0^2L^2} {R_1^2} = \frac {\omega_0^2L^2} {R_{1s}^2 (1 + Q_{c1}^2)^2}$ . Il termine $\frac {\omega_0^2L^2} {R_{1s}^2}=Q^2$ rappresenta il quadrato del fattore di merito

.

Ora alla risonanza dovrebbe esser sempre $Q < Q_{c1} + 1/Q_{c1}$ . Il dubbio e' che per un alto fattore di merito

(es

) non e' detto che $Q_{c1}$ risulti altrettanto alto. Pertanto il termine

potrebbe ancora non essere trascurabile.

Viceversa se $Q_{c_1} >> 1$ allora senz'altro il termine A e' sovrastimato da $1/Q_{c1}^2$ e quindi trascurabile.

Torna ? Grazie.

Messaggioda **cianfa72** » 8 ago 2024, 9:43

Alla pulsazione $\omega_0$ la resistenza si trasforma in $R_{1s} = \frac {R_1} {1 + Q_{c1}^2}, Q_{c1}=\omega_0R_1C_1$ .
Ora abbiamo $A = \frac {\omega_0^2L^2} {R_1^2} = \frac {\omega_0^2L^2} {R_{1s}^2 (1 + Q_{c1}^2)^2}$ . Il termine $\frac {\omega_0^2L^2} {R_{1s}^2}=Q^2$ rappresenta il quadrato del fattore di merito .

Ora alla risonanza dovrebbe esser sempre $Q < Q_{c1} + 1/Q_{c1}$ . Il dubbio e' che per un alto fattore di merito (es ) non e' detto che $Q_{c1}$ risulti altrettanto alto. Pertanto il termine potrebbe ancora non essere trascurabile.

Viceversa se $Q_{c_1} >> 1$ allora senz'altro il termine A e' sovrastimato da $1/Q_{c1}^2$ e quindi trascurabile.

Rifacendo i conti si trova che il Q della risonanza e' il parallelo di $Q_{c1}$ con un'altra quantita'. Pertanto Q e' sempre minore di $Q_{c1}$ . Ne segue che il termine $A=\frac {Q^2} {(1 + Q_{c1}^2)^2} = \left( \frac {Q} {1 + Q_{c1}^2} \right)^2 = \left( \frac {1} {1/Q + Q_{c1}^2/Q } \right)^2$ e' sempre maggiore di 1. Quindi per le scelte di progetto C_1 >> C_2

il termine

e' senz'altro trascurabile rispetto a $\left (\frac {C_1} {C_2} \right )^2$ .

Messaggioda **cianfa72** » 8 ago 2024, 10:58

Altra cosa: nella seguente rete la funzione di rete impedenza di ingresso vista sulla porta 2 (quando la porta 1 e' aperta cioe' I_1=0

) e' la seguente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$Z_{2}(s) = \frac {1 + sLG_1 + s^2LC_1} {s^3LC_1C_2 + s^2L(C_1G_2 + C_2G_1) + s (C_1 + C_2 + LG_1G_2) + G_1 + G_2}$

mentre la funzione di trasferimento V_1/I_2

vale:

$F(s) = \frac {1} {s^3LC_1C_2 + s^2L(C_1G_2 + C_2G_1) + s (C_1 + C_2 + LG_1G_2) + G_1 + G_2}$

Ora entrambi le funzioni di rete hanno lo stesso denominatore ma diverso numeratore.

Ne segue che se la risonanza e' definita come quella pulsazione $\omega_r$ tale che per $s=j\omega_r$ la relativa funzione di rete e' reale allora le 2 funzioni di rete hanno certamente pulsazioni di risonanza diverse a causa dei loro zeri diversi (stessi poli ma zeri diversi).

E' corretto ? Grazie.

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