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da **Ianero** » 1 ott 2024, 22:27

Non ti ho seguito.
La notazione di cui parlavamo è quella che vede lo stesso indice sia a pedice che ad apice, sottintendendo così una sommatoria che satura proprio tale indice, come avevi scritto ad esempio in [1]:

P^a=M^a_b V^b

In quello che hai scritto nell'ultimo post non vedo mai lo stesso indice sia 'sopra' che 'sotto'.

da **EcoTan** » 2 ott 2024, 6:46

Infatti la scrittura di partenza $g_{ab}(x)=e^i_a(x)e^j_b(x)\delta_{ij}$ segue la regola che tu dici (e ci mancherebbe, dato che la ho copiata da un libro).
Quello che io mi chiedo è: queste scritture non devono avere un significato operativo, un corrispettivo algebrico? Queste componenti, o come dobbiamo chiamarle, con indici covarianti (sotto) e controvarianti (sopra), fissando gli indici non rappresentano un numero reale? Certamente le scritture non hanno una funzione artistica e non servono soltanto a costruirci sopra altre scritture sempre più astratte. Per restare nel mio esempio, lo sviluppo che ho indicato alla fine del post [10] è quello corretto, non è quello corretto, o non ha senso? (nota: le componenti elevate al quadrato le ho indicate come prodotti per se stesse, per evitare confusione fra indici ed esponenti)

da **Ianero** » 2 ott 2024, 21:29

Non ti so rispondere, perché quella in [10] non l'ho capita.
Secondo me ti potrebbe rispondere

IlGuru.

da **IlGuru** » 3 ott 2024, 10:30

EcoTan ha scritto:Cosa significa esattamente il seguente prodotto P ?

Significa che stai sommando sugli indici 'b'. 'a' è l'indice libero, 'b' è l'indice muto.

EcoTan ha scritto:Immagino che P sia un vettore con tre componenti .
Posso scrivere:
$P_1=M_{11} V_1 + M_{12} V_2 + M_{13} V_3$

Questa è la risposta esatta.

da **IlGuru** » 3 ott 2024, 10:50

EcoTan ha scritto:Credo di avere trovato la soluzione.
Effettivamente la seguente notazione:
$g_{ab}(x)=e^i_a(x)e^j_b(x)\delta_{ij}$

Secondo me è fuorviante ragionare in termini di righe e colonne come con le matrici.
Va bene per le funzioni bilineari come questa, ma con oggetti più esotici come $R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}$ come fai?
La notazione $W^{\alpha}_{\beta}$ significa che $\alpha$ è un indice controvariante come le componenti dei vettori, $\beta$ è un indice covariante come le componenti delle forme lineari.

Cosa moltiplicare con cosa è implicito nel prodotto usando la notazione di Einstein, $g_{ab}=e^i_a e^j_b \delta_{ij}$ significa che stai moltiplicando le $e^i_a \delta_{ij}$ e le $e^j_b \delta_{ij}$ sommando tutti i prodotti. Ma stai moltiplicando tra loro dei numeri (in generale delle funzioni), e la notazione ti dice esattamente come moltiplicarli. Diversamente da quello che avviene con le matrici, $g_{ab} = e^i_a e^j_b \delta_{ij}$ è equivalente a $g_{ab} = e^j_b e^i_a \delta_{ij}$ perché stai moltiplicando due oggetti usando il prodotto scalare che è una applicazione bilineare simmetrica $\langle a , b \rangle = \langle b , a \rangle$ , mentre in generale il prodotto tra matrici non è commutativo $A ( B D ) \neq A ( D B )$

da **EcoTan** » 3 ott 2024, 11:07

Bello, grazie. Mi resta però la curiosità, forse oziosa, se la fine del post [10] è giusta, contiene errori o è priva di senso. Ha l'aspetto di una matrice 2x2 ma possiamo considerarla come un elenco di 4 componenti. Tanto per capire se questi calcoli sono proibitivi da fare a mano già in 2 dimensioni.

da **IlGuru** » 3 ott 2024, 11:11

EcoTan ha scritto:La scrittura è la seguente, presa dal testo che ho citato prima:
$g_{ab}(x)=e^i_a(x)e^j_b(x)\delta_{ij}$ dove $\delta_{ij}$ è il simbolo di Kronecker.

Il procedimento è corretto, dal prodotto $e^j_b \delta_{ij} = u_{i b}$ sopravvive e^1_1 + e^2_2

dato che la delta di kroneker è una matrice diagonale che contiene solo 1, ma questo non significa che $u_{i b}=e^1_1 + e^2_2$ . Significa che $u_{1 1}=e^1_1$ e $u_{2 2}=e^2_2$ ma implicitamente stai sommando $u_{1 1} + u_{2 2}$ .
Poi moltiplichi e sommi con e^i_a

ottenendo $g_{11} = e^1_1 (e^1_1 + e^2_2) = e^1_1 e^1_1 + e^1_1 e^2_2$ ecc...

EcoTan ha scritto: $g_{ab}(x)=\begin{Vmatrix} e^1_1e^1_1+e^2_1e^2_1 & \quad e^1_1e^1_2+e^2_1e^2_2 \\\\ e^1_1e^1_2+e^2_1e^2_2 & \quad e^2_2e^2_2+e^1_2e^1_2 \end{Vmatrix}$

L'errore che vedo qui è che a sinistra hai scritto $g_{ab}$ che sono le componenti del tensore, mentre a destra hai una matrice che è una rappresentazione di un tensore.
Mi sembra più corretto scrivere:
$g = \begin{Vmatrix} e^1_1e^1_1+e^2_1e^2_1 & \quad e^1_1e^1_2+e^2_1e^2_2 \\\\ e^1_1e^1_2+e^2_1e^2_2 & \quad e^2_2e^2_2+e^1_2e^1_2 \end{Vmatrix}$

da **EcoTan** » 3 ott 2024, 11:14

Grazzie!!

da **IlGuru** » 3 ott 2024, 11:35

EcoTan ha scritto:Bello, grazie. Mi resta però la curiosità, forse oziosa, se la fine del post [10] è giusta, contiene errori o è priva di senso. Ha l'aspetto di una matrice 2x2 ma possiamo considerarla come un elenco di 4 componenti. Tanto per capire se questi calcoli sono proibitivi da fare a mano già in 2 dimensioni.

.

Stabilita una convenzione si possono fare tutti i conti, ma questa notazione nasce per semplificarli. Serve a trovare delle simmetrie che permettono di non fare tutti i conti inutili.
Ad esempio, se sai che un certo tensore è simmetrico perché $A_{\mu \nu} = A_{\nu \mu}$ e devi calcolare dei prodotti tipo $A_{\mu \nu} B^{\nu}_{\lambda}$ esegui solo i conti per le componenti $A_{\mu \nu}$ perché $A_{\nu \mu}$ ti darà lo stesso risultato.

Aggiungo che fino a qui, abbiamo parlato solo del prodotto interno che produce degli scalari:
$A_\alpha B^\alpha$ è come scrivere in forma matriciale $\begin{vmatrix}a b c \end{vmatrix} \begin{vmatrix}d \\ e \\ f\end{vmatrix} = ad + be + cf$

Esiste anche il prodotto esterno che produce tensori di rango maggiore:

A X B è come scrivere in forma matriciale $\begin{vmatrix}a \\ b \\ c\end{vmatrix} \begin{vmatrix}d e f\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}ad & ae & af \\ bd & be & bf \\ cd & ce & cf\\ \end{vmatrix}$

Inoltre tutte queste operazioni valgono perché è verificata la linearità quindi le componenti di un tensore possono anche essere degli operatori come la derivazione:

$\nabla= \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\end{vmatrix}$

Ti permette di scrivere ad esempio

$F_{\mu} = \nabla_{\mu} F$ che è una 1-forma lineare le cui componenti sono $\frac{\partial F}{\partial x} \quad,\quad \frac{\partial F}{\partial y} \quad,\quad \frac{\partial F}{\partial z}$ e rappresenta il gradiente di F.

Con $F_{\mu}$ pui calcolare la derivata di F lungo una generica direzione data da un vettore $\vec{v}$ le cui componenti sono $v^{\mu}$

Ad esempio se $v = \begin{vmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{vmatrix}$ :
$\partial_v F = F_{\mu} v^{\mu} = \begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} & \frac{\partial F}{\partial z}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{vmatrix} = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}$

da **EcoTan** » 3 ott 2024, 15:31

Ora che sono diventato un piccolo mostro grazie alle prime risposte di

IlGuru (le altre dovrei ancora studiarle), rifaccio il conto con tutta la pignoleria possibile.
Vogliamo esplicitare $g_{ab}=e^i_ae^j_b\delta_{ij}$ (limitandoci all'ordine 2)
Poniamo
$e^j_b\delta_{ij}=u_{bi}$
cioè
$u_{11}=e^1_1\delta_{11}+e^2_1\delta_{12}=e^1_1 \quad \quad \quad u_{12}=e^1_1\delta_{21}+e^2_1\delta_{22}=e^2_1$

$u_{21}=e^1_2\delta_{11}+e^2_2\delta_{12}=e^1_2 \quad \quad \quad u_{22}=e^1_2\delta_{21}+e^2_2\delta_{22}=e^2_2$

Adesso riprendiamo
$g_{ab}=e^i_au_{bi}$
cioè
$g_{11}=e^1_1u_{11}+e^2_1u_{12}=e^1_1e^1_1+e^2_1e^2_1 \quad\quad g_{12}=e^1_1u_{21}+e^2_1u_{22}=e^1_1e^1_2+e^2_1e^2_2$

$g_{21}=e^1_2u_{11}+e^2_2u_{12}=e^1_2e^1_1+e^2_2e^2_1 \quad\quad g_{22}=e^1_2u_{21}+e^2_2u_{22}=e^1_2e^1_2+e^2_2e^2_2$

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