Prodotto di tensori

[IlGuru]

Devo correggere un errore che ho fatto prima ( e che ho corretto ).

Contraendo l'indice j in stiamo "rinominando" l'indice j con l'indice b quindi il risultato, scritto correttamente è

Se u è una matrice simmetrica, scrivere o è la stessa cosa, ma in generale bisogna stare attenti ed essere precisi.

[EcoTan]

Esiste anche il prodotto esterno che produce tensori di rango maggiore:

A X B è come scrivere in forma matriciale

Non mi ci ritrovo. Per esempio, nella forza di Lorentz (F=q vxB) il prodotto esterno è un vettore pari alla velocità v per l'induzione B per il seno dell'angolo compreso, ed è un vettore perpendicolare a entrambi. E' la stessa cosa?

[PietroBaima]

Una piccola precisazione che porta alla confusione di EcoTan.
Il prodotto esterno (ma IlGuru l'ha già detto in modo diverso) non è una operazione estendibile alle algebre di Clifford e non sempre il nabla si comporta come un vettore.

Il nabla è un operatore differenziale che agisce su campi scalari o vettoriali per restituire derivati di varia natura (gradiente, divergenza, rotore). Tuttavia, in alcuni contesti, il nabla può essere trattato formalmente come se fosse un vettore, specialmente nelle espressioni matematiche dove si sfruttano convenzioni simili a quelle del calcolo vettoriale. IN ALTRI NO.

Il nabla può essere formalmente trattato come un vettore in spazi euclidei e nelle operazioni di base del calcolo vettoriale, come gradiente, divergenza e rotore. Tuttavia, questa è una semplificazione che funziona principalmente in contesti tridimensionali e in spazi euclidei. Quando ci si sposta in geometrie più generali (come spazi curvi) o si lavora con campi più complessi, il nabla non si comporta più come un vettore e richiede una trattazione più avanzata.

Se volete fare le cose bene dovete passare agli spinori.

[EcoTan]

Oh, grazie. Googlando "prodotto esterno" vedo che non è che io ho proprio sbagliato, l'altra definizione la tengo buona per studi futuri.. nell'altra metà dell'iperspazio, forse.

[EcoTan]

Sulle definizioni del prodotto esterno fra due vettori V,W ho capito questo:
1) prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso, con direzione perpendicolare a entrambi.
2) determinante in cui le prime due colonne sono costituite dai vettori V,W e la terza colonna ha in ogni casella un vettore appartenente alla base di rappresentazione. Sviluppando il determinante secondo la terza colonna si ha una somma di vettori cioè un vettore. Mi pare che possa funzionare soltanto in 3 dimensioni.
3) tensore doppio Amn costruito con la regola .
poiché viene emisimmetrico in 3d porta le stesse informazioni di un vettore. (Non mi è del tutto chiaro se sia covariante e se possa essere finito o soltanto infinitesimo).