Curiosità, dimensioni del punto

[PietroBaima]

Sapete che la dimensione di un frattale non è intera?

(non c'entra niente, ma dato che la discussione langue...)

[Theodoro]

Punto è ciò che non ha dimensione mentre infinitesimo può essere inteso come infinitasemente piccolo e nella geometria euclidea non c'è spazio per gli equivoci.
Non possiamo neppure usare il termine inconmensurabile perché il tale è il pi greco.

[GioArca67]

Ad ogni punto sul segmento AO corrisponde uno e un solo punto sulla semiretta s.
Dimostrazione:
dal punto B (fisso, alla stessa distanza di A dalla semiretta o dal suo prolungamento) tracciamo una semiretta t passante per un punto C qualunque del segmento AO.
La semiretta t incrocerà la semiretta s in un punto D.
Ciò vale per tutti i punti del segmento e tutti i punti della semiretta, che vengono così messi in corrispondenza biunivoca. Quindi ci sono tanti punti nella semiretta quanti ce ne sono nel segmento.
Nota: il punto A corrisponde al punto all'infinito della semiretta s.

Magari troppo sbrigativa?
Più che una dimostrazione sembra una tautologia.
Mi sembra che manchi una parte per assurdo.
La butto lì.
Supponiamo di passare per il punto B tante semirette che intersecano il segmento OA in ciascun punto Cx di OA, collezioniamo i punti Cx in un insieme CX.
Tali semirette intersecheranno la semiretta s in un generico punto Dx.
Collezioniamo tutti i punti Dx in un insieme DX.
Abbiamo quindi una relazione univoca fra ogni punto di CX ed ogni punto di DX.
Supponiamo ora che vi sia in s un punto D' non appartenente all'insieme DX.
Allora dal punto D' tracciamo una semiretta con origine B.
Tale semiretta t' intersecherà il segmento OA in un punto C'. Ma per ipotesi per qualsiasi punto C' di OA e B già passa una semiretta t.
Allora abbiamo l'assurdo che per 2 punti (B e C') passano 2 rette diverse (t e t'), in quanto abbiamo supposto che D' non fosse in DX e quindi la semiretta t' è diversa da tutte le semirette t: possiamo pertanto concludere che l'insieme DX contiene tutti e soli i punti di s e quindi vi è una associazione univoca fra i punti di OA ed i punti di s.
Per me basterebbe così anche per la biunivocità poiché abbiamo preso tutte le coppie di punti in CX e DX e tutti distinti in quanto su rette distinte.
Ragionando al contrario partendo da tutti i punti di s possiamo comunque dimostrare la biunivocità.

[Theodoro]

Beeper28 ha chiuso la questione.
Le definizioni si accettano senza dimostrarle, per comune accordo, quindi punto è ciò che non dimensione, linea è solo lunghezza