Cifre significative, propagazione degli errori e dintorni

[novizio]

Salve,
ho qualche dubbio sull'argomento e vorrei un aiuto per chiarirmi le idee.
Ho fatto qualche ricerca in rete ma ho trovato qualche contrasto, o almeno così a me è parso, anche tra documenti in siti universitari.

Allora, supponendo che sia a conoscenza delle regole di base (se non sarà così lo si vedrà strada facendo), partirei da un esempio che è tratto da un manuale di fisica (credo ad uso dei licei classici).

L'esempio è questo:

Calcola la superficie di un tavolo le cui misure sono x=(80.2+-0.2) cm e y=(120.1+-0.2)cm.

Viene calcolato, innanzitutto, il valore di S. Il testo espone: 9632.02 cm2. E' giuso? Non dovrebbe essere 9630 in quanto dobbiamo prendere il numero di cifre significative pari al minor numero di cifre significative tra x e y? In questo caso 3?

Nella soluzione si procede, poi, con il calcolo dell'errore relativo della misura di S (la superficie). Essendo questa una misura indiretta e determinata per mezzo di un prodotto si ha che l'errore relativo che si commette su S è pari alla somma degli errori relativi commessi su x e su y. Eseguendo il calcolo con la calcolatrice ottengo: 0.004159. Il risultato esposto dal testo, invece, è: 0.0042. E qui pongo la prima domanda: come determino il numero di cifre significative di questo errore relativo?
Vi sono due regole, quella per la determinazione del numero dei decimali in operazioni di somma e sottrazione e quella per la determinazione del numero di cifre significative in operazioni di prodotto e moltiplicazione. Il calcolo in questione è una somma di rapporti. Alloro procedo così:
1. mi calcolo il numero di cifre significative di ogni singolo rapporto (una, nel nostro caso);
2. mi calcolo il numero di decimali della somma finale.
Vediamo nel dettaglio:
0.2/80.2=0.0024938 che diventa: 0.002
0.2/120.1=0.0016653 che diventa: 0.002 (qui opera anche l'arrotondamento per eccesso).
Ora eseguo la somma e trovo: 0.004.
E' corretto? Oppure, per limitare la propagazione dell'errore dovuto agli arrotondamenti, opero solo sul risultato finale? E come dovrei fare?

Andiamo avanti.
Il testo procede con il calcolo dell'errore assoluto su S ed ottiene: 40.45 cm2. Ma non dovrebbe essere 40? Avere, cioè, una sola cifra significativa dal momento che le incertezze assolute su x ed y hanno una sola cifra significativa?

Poi conclude così:

Osserviamo che l'incertezza assoluta incide sulla cifra delle decine nella misura di S. Scriveremo pertanto il risultato nel modo seguente:
S=(9600+-40) cm2

E qui un altro dubbio: se devo indicare il numero di cifre significative per il valore di S devo guardare le cifre significative di x ed y e considerare il minor numero di esse: in questo caso 3. Come ho scritto prima dovrei allora indicare 9630.
Però, se guardo all'errore, sempre come ho scritto prima, dovrei concludere che questo è 40. Quindi due cifre significative (0 una?) e allora anche per S due cifre significative, quindi 9600 sarebbe corretto.

Insomma, come vedete la confusione regna sovrana: spero nella buona disponibilità di qualche esperto che possa aiutarmi ad uscire da questo pantano.

Grazie.

[RenzoDF]

Premesso che l'argomento non è di semplice trattazione, anche perché ormai per il calcolo delle incertezze si preferisce NON usare il metodo "deterministico" ma bensì quello "probabilistico", cercherò di rispondere, anche se in modo "superficiale"

Calcola la superficie di un tavolo le cui misure sono x=(80.2+-0.2) cm e y=(120.1+-0.2)cm.

Viene calcolato, innanzitutto, il valore di S. Il testo espone: 9632.02 cm2. E' giuso? Non dovrebbe essere 9630 in quanto dobbiamo prendere il numero di cifre significative pari al minor numero di cifre significative tra x e y? In questo caso 3?

Delle incertezze teniamo conto in seguito, il calcolo si fa normalmente sui valori misurati

... l'errore relativo che si commette su S è pari alla somma degli errori relativi commessi su x e su y. Eseguendo ottengo: 0.004159. Il risultato esposto dal testo, invece, è: 0.0042. E qui pongo la prima domanda: come determino il numero di cifre significative di questo errore relativo?

in numero di cifre usato per l'incertezza è normalmente di UNA, solo in "casi particolari" ne vengono usate DUE

Vi sono due regole, quella per la determinazione del numero dei decimali in operazioni di somma e sottrazione e quella per la determinazione del numero di cifre significative

ricordo che il n° di cifre significative NON è uguale al n° di cifre decimali

0.2/80.2=0.0024938 che diventa: 0.002
0.2/120.1=0.0016653 che diventa: 0.002 (qui opera anche l'arrotondamento per eccesso).
Ora eseguo la somma e trovo: 0.004.
E' corretto? Oppure, per limitare la propagazione dell'errore dovuto agli arrotondamenti, opero solo sul risultato finale? E come dovrei fare?

è corretto, più corretto sarebbe comunque arrotondare successivamente ...ovvero

0,2/80,2 = 0,002493766

0,2/120,1 = 0,001665279

0,25%+0,17% = 0,42%

e quindi e%= 0,4%

Il testo procede con il calcolo dell'errore assoluto su S ed ottiene: 40.45 cm2. Ma non dovrebbe essere 40? Avere, cioè, una sola cifra significativa dal momento che le incertezze assolute su x ed y hanno una sola cifra significativa?

hai ragione, scrivere l'errore assoluto con 4 cifre significative NON ha senso in questo caso

Osserviamo che l'incertezza assoluta incide sulla cifra delle decine nella misura di S. Scriveremo pertanto il risultato nel modo seguente:
S=(9600+-40) cm2

Non sono d'accordo sul risultato ... io direi S=9630+-40
come correttamente scrivi, ottenendo un'incertezza sulla terza cifra significativa del risultato il "3", ovvero sulle decine, non possiamo che eliminare le cifre seguenti il 3 (arrotondando), ma NON facendo addirittura "sparire" il 3

..Però, se guardo all'errore, sempre come ho scritto prima, dovrei concludere che questo è 40. Quindi due cifre significative (0 una?) e allora anche per S due cifre significative, quindi 9600 sarebbe corretto.

in pratica il 40 lo usiamo perché abbiamo la necessità di indicare 4 "decine", ma nella realtà la cifra significativa è UNA ... e lo zero è un semplice "riempitivo"

Non devi confrontare la cifre significative del valore misurato con quelle dell'errore assoluto
è l'errore assoluto (indicato normalmente con 1 cifra significativa) a determinare il numero di cifre significative del risultato, che ne avrà in questo caso 3.

In definitiva due saranno i possibili modi di indicare il risultato ottenuto:



effettivamente sarebbe "consigliabile" toglierci dai piedi quello "zero" e riscrivere S come


oppure


in questo modo è tutto più chiaro ...no?

Per approfondire ri-posto una serie di lezioni di un amico di Isidoro
il Prof. Marco Parvis, Ordinario di Misure Elettroniche al Politecnico di Torino

http://www.consorzionettuno.it/nettuno/ ... 0&idTCor=1
Dai un occhio anche alle due dispense a inizio pagina
http://sermis.polito.it/DIDACT/10BSP.htm
BTW: a malincuore, consiglio IE per la visione

[novizio]

Grazie RenzoDF, la nebbia comincia a diradarsi!

Riepilogo quanto mi sembra di aver appreso (il contesto è sempre quello della misura indiretta).
1. gli arrotondamenti è bene eseguirli alla fine, proprio per limitare la propagazione di eventuali errori (appunto di arrotondamento);
2. si esegue il calcolo della grandezza ottenuta per via indiretta (nell'esempio il prodotto di x ed y) e si assegna ad essa un numero di cifre significative in numero pari al minore tra le cifre significative di x e quelle di y;
3. se la grandezza indiretta è legata alle grandezze dirette per mezzo di somme e/o sottrazioni si assegna alla grandezza indiretta un numero di decimali pari al minor numero di decimali delle grandezze dirette;
4. si procede al calcolo dell'errore applicando, in generale, la formula del differenziale totale (nel caso di moltiplicazione e divisione si sommano gli errori relativi; nel caso di somma e differenza si sommano gli errori assoluti);
5. all'incertezza assoluta così ottenuta si assegna una cifra significativa, massimo due.

Tutto giusto?
Inoltre, il quinto punto l'ho scritto ma non l'ho capito. Puoi aiutarmi a chiarire?

Grazie.

P.S.: mi sono letto le dispense delle quali mi hai sottoposto il link, relativamente alla parte che mi interessava: mi sembrano molto chiare. Mi sono riproposto di approfondire, successivamente, anche il metodo probabilistico.
I video, invece, li ho solo ... "visti". Nel senso che sia con IE che con Mozilla non sono riuscito ad ascoltare l'audio. Ci riproverò un'altra volta.
Comunque grazie per tutto il materiale.

[novizio]

Ci sono due passaggi sulle dispense del Prof. Carullo, però, che mi lasciano perplesso in merito all'elenco dei punti che ho elencato prima.

Il numero di cifre con cui si comunica il valore stimato del misurando è strettamente correlato alla sua incertezza. Di regola, nei calcoli intermedi si conservano tutte le cifre significative, per evitare di introdurre inutili errori dovuti a troncamenti o arrotondamenti. Nella dichiarazione del risultato della misurazione, il valore del misurando deve essere fornito arrotondando la cifra successiva a quella su cui grava l’incertezza. Se, per esempio, il risultato della stima di una lunghezza è pari a 7.837 m e la stima della sua incertezza è pari a 0.1 m, il risultato finale sarà comunicato come L = (7.84 +- 0.1) m.

e poi:

... l’incertezza è di norma espressa utilizzando una o, al più, due cifre significative.
... Due cifre significative possono essere usate quando il numero che esprime l’incertezza è inferiore a 5: se il valore ottenuto da una stima di incertezza relativa è pari a 1.39%, arrotondare al valore 1% provoca un errore di circa il 40%; in casi come questo è consigliato utilizzare due cifre significative, dichiarando quindi un’incertezza pari a 1.4%.

Ciò significa che per esprimere il risultato della stima del misurando non dobbiamo usare un numero di cifre significative dipendenti dal numero delle cifre significative delle misure dirette dalle quali dipende il misurando.
Per tornare all'esempio con cui ho aperto il post si sarebbe dovuto operare così (se ho capito bene!):
1. calcolo di S mantenendo tutte le cifre e rimandando a dopo gli arrotondamenti; si otteneva: 9632.02;
2. calcolo dell'errore su S, sempre mantenendo tutte le cifre, ottenendo: 40.06;
3. a questo punto si determinano le cifre significative dell'errore assoluto su S; siccome la prima cifra è inferiore a 5 se ne prendono due e si ottiene: 40;
4. ora si determinano le cifre significative di S arrotondando la cifra successiva a quella su cui grava l'incertezza; nel nostro caso l'incertezza grava sulle decine e quindi ci si deve fermare alle unità;
5. Si comunica quindi l'esito della misura, scrivendo:
S = (9632+-40) cm2

Che porta ad un risultato diverso da quello sul quale prima entrambi concordavamo. Dove sbaglio, se sbaglio?
Grazie ancora per la pazienza.

[RenzoDF]

Non sono ASSOLUTAMENTE d'accordo con quanto scritto nella dispensa

Se dai un occhio al documento del SIT – SERVIZIO DI TARATURA IN ITALIA dove non si fa altro da mattina a sera

relativamente alle PRESCRIZIONI SULLE PRINCIPALI REGOLE DI SCRITTURA
http://www.sit-italia.it/SIT/Documenti/Doc-518.pdf

vedrai che, in 4.2 Dichiarazione delle incertezze di misura si usa il metodo che ti ho indicato, (anche se a volte, come ti accennavo, usando 2 cifre significative) ...
pur non essendo d'accordo, nemmeno con loro, quando nell'introduzione al paragrafo si scrive
"... non deve riportare cifre significative in numero maggiore che nella stessa."

penso sarebbe stato meglio un:
"...non deve riportare cifre significative di peso inferiore a quelle relative all'incertezza."

BTW un bel testo introduttivo sull'incertezza, che ti consiglio, è il seguente
An Introduction to Error Analysis, John R. Taylor

ErrA.gif (25.78 KiB) Osservato 21061 volte

... dai un occhio a pag. 28 e seguenti
http://books.google.it/books?id=giFQcZub80oC&pg=PA28

se ti stai chiedendo cosa rappresenti la foto in copertina ... è il treno n°56 da Grandville, che arrivato a velocità vertiginosa (40-60 km/h), non riesce a fermarsi nella stazione di Montparnasse a Parigi il 22 Ottobre 1895 ... uccidendo già con la caduta del muro, una venditrice di giornali che "stazionava" proprio lì sotto ... un "errore di frenata" ? ... a dire il vero sembra che non ci sia nemmeno stata

... altro che il solito vaso di fiori

[novizio]

Grazie Renzo,
finalmente un documento ufficiale che attinge alle norme internazionali. L'ho letto e vi ho trovato anche altre cose interessanti, a proposito del modo di scrivere formalmente il risultato di una misura, l'incertezza, l'unità di misura, ecc.

Ho seguito il link al testo di J.R.Taylor. Me lo devo leggere con attenzione e lo farò certamente. L'eloquenza della copertina, poi, è di incredibile coerenza con l'argomento trattato.

Prima di catapultarmi nella lettura del Taylor, però, volevo capire il senso della tua affermazione:

penso sarebbe stato meglio un:
"...non deve riportare cifre significative di peso inferiore a quelle relative all'incertezza."

magari con un esempio: probabilmente mi sfugge la sfumatura.

Grazie ancora.

[RenzoDF]

... volevo capire il senso della tua affermazione:

penso sarebbe stato meglio un:
"...non deve riportare cifre significative di peso inferiore a quelle relative all'incertezza."

magari con un esempio: probabilmente mi sfugge la sfumatura.

scrivere

"non deve riportare cifre significative in numero maggiore che nella stessa"

è errato in quanto, nel nostro caso per esempio, il numero di cifre significative del risultato è 3 (9630) mentre in numero di cifre significative dell'incertezza è 1 (40) ... e 3 > 1

Altro documento "superleggero" sull'argomento potrebbe essere
http://www.physics.unc.edu/about/labs/c ... tainty.pdf

[IsidoroKZ]

Per quanto riguarda incertezze di misura, errori di tipo A e B, stimatori ecc. ecc. suggerisco De Marchi, Lo Presti: incertezze di misura.

[novizio]

è errato in quanto, nel nostro caso per esempio, il numero di cifre significative del risultato è 3 (9630) mentre in numero di cifre significative dell'incertezza è 1 (40) ... e 3 > 1

Si, ora ho capito ciò che intendevi.

Per quanto riguarda l'altro documento di cui mi hai sottoposto il link, Introduction to Measurements & Error Analysis, il superleggero , mi sembra che ribadisca quanto ci stiamo dicendo. In particolare, per quanto concerne le cifre significative del risultato di un'operazione di somma/sottrazione:

For addition and subtraction, the result should be rounded off to the last
decimal place reported for the least precise number.

Se invece il risultato è a seguito di operazioni di moltiplicazione/divisione:

For multiplication and division, the number of significant figures that are
reliably known in a product or quotient is the same as the smallest number of
significant figures in any of the original numbers.

Per quanto riguarda la scrittura che esprime l'incertezza:

The uncertainty in the measurement cannot be known to that precision. In most experimental
work, the confidence in the uncertainty estimate is not much better than about ±50% because of all
the various sources of error, none of which can be known exactly. Therefore, to be consistent with
this large uncertainty in the uncertainty (!) the uncertainty value should be stated to only one
significant figure (or perhaps 2 sig. figs. if the first digit is a 1).
Experimental uncertainties should be rounded to one, or at most two, significant
figures.

Infine, per quanto riguarda la scrittura finale del misurando e della sua incertezza:

An experimental value should be rounded to an appropriate number of
significant figures consistent with its uncertainty. This generally means that the
last significant figure in any reported measurement should be in the same
decimal place as the uncertainty.

(il neretto è mio).

Direi che a questo punto non ho più dubbi.
Grazie ancora per il tempo e la pazienza mostrata. Alla prossima.


P.S.: accolgo anche il suggerimento di Isidoro (De Marchi, Lo Presti: incertezze di misura), che andrò a reperire quanto prima.

[sarchiapo]

ciao, avrei una domanda secca a proposito delle cifre significative:
Diametro d =10,0 cm = 0,0100 m. Raggio r = d/2 = 0,050 o 0,0500? E' vero che le cifre significative del diametro sono 3 e dividendo per un valore esatto dovrei mantenere la precisione, ma la precisione non è sul millesimo?

vi ringrazio anticipatamente!