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Amp. differenziale: propagazione degli errori

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 26 gen 2010, 17:40

Ciao a tutti,
in un progetto ho bisogno di includere un amplificatore differenziale, per fare il sensing di una corrente (con un resistore da una frazione di ohm).
Il circuito che sto cercando di applicare e' il classico amplificatore differenziale con OP-AMP, come segue in figura (grazie Wikipedia):

Immagine

Dopo un veloce sguardo al circuito (una sovrapposizione ed un partitore) si puo' arrivare alla seguente conclusione per la Vout :

V_{out}=V_{1}(-\frac{Rf}{R1})+V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})

Ora, vorrei ovviamente ridurre il piu' possibile i costi e le dimensioni del circuito applicativo, quindi vorrei considerare i risultati SENZA l' utilizzo di alcun trimmer e utilizzando dei resistori da 1% di tolleranza.
Quello a cui punto e' trovare la variazione relativa dell' uscita in funzione della variazione relativa dei resistori (1%). Premetto che non mi sono mai cimentato nel calcolo della propagazione degli errori, quindi potrei scrivere delle porcate allucinanti, me ne scuso in anticipo.

Cerchero' di iniziare dal layer piu' esterno dell' equazione e risolvere un po' alla volta dato che sembra essere abbastanza lunga (espressione approssimata per la condizione peggiore, vedi le considerazioni fatte per \frac{\Delta (R2+Rg)}{R2+Rg}):

\frac{\Delta V_{out}}{V_{out}}=\frac{\Delta (-\frac{Rf}{R1})}{(-\frac{Rf}{R1})}+\frac{\Delta [(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})]}{(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})}

Qui ho fatto sparire le costanti moltiplicative (le tensioni), che sono certo vadano tenute nel calcolo di una variazione assoluta, ma ad intuito mi sembra vadano rimosse da un calcolo di una variazione relativa ( right? )
Ora inizierei dal primo termine, ovvero:

\frac{\Delta (-\frac{Rf}{R1})}{(-\frac{Rf}{R1})} = -(\frac{\Delta Rf}{Rf} - \frac{\Delta R1}{R1})

E qui fioccano i dubbi... per risolvere ho pensato di essere nella situazione peggiore (anzi, in una delle due), ovvero che Rf sia Rf*0.99 (1% in -) ed R1 sia R1*1.01 (1% in +), trovando il seguente risultato:

\frac{\Delta (-\frac{Rf}{R1})}{(-\frac{Rf}{R1})} = -(\frac{\Delta Rf}{Rf} - \frac{\Delta R1}{R1})=-(-0.01-0.01)=0.02

Ora il secondo termine, che e' ben piu' ostico del primo:

\frac{\Delta [(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})]}{(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})}=\frac{\Delta (\frac{Rg}{R2+Rg})}{(\frac{Rg}{R2+Rg})}+\frac{\Delta (\frac{R1+Rf}{R1})}{(\frac{R1+Rf}{R1})}

\frac{\Delta (\frac{Rg}{R2+Rg})}{(\frac{Rg}{R2+Rg})}=\frac{\Delta Rg}{Rg} - \frac{\Delta (R2+Rg)}{R2+Rg}

\frac{\Delta (R2+Rg)}{R2+Rg}=\frac{\Delta R2}{R2}(\frac{R2}{R2+Rg})+\frac{\Delta Rg}{Rg}(\frac{Rg}{Rg+R2})

Su quest' ultimo passaggio vorrei fare un osservazione: il secondo termine moltiplicativo in ambedue i membri lo avrei dovuto mettere anche nell' espressione di \frac{\Delta V_{out}}{V_{out}}, che e' anch' essa il risultato di una somma algebrica. Tuttavia ho rimosso i termini (come faro' anche qui) perche' questi ultimi NON potranno MAI essere maggiori di 1, quindi considerandoli 1 sto considerando la worst-case-condition (right?).
Quindi La precedente equazione diventa:

\frac{\Delta (R2+Rg)}{R2+Rg}=\frac{\Delta R2}{R2}+\frac{\Delta Rg}{Rg} = 0.02

Che nelle condizioni peggiori per il calcolo di \frac{\Delta (\frac{Rg}{R2+Rg})}{(\frac{Rg}{R2+Rg})} puo' anche essere considerato come -0.02 (basta che ambedue i resistori diminuiscano dell' 1% anziche' aumentare come precedentemente assunto), di conseguenza:

\frac{\Delta (\frac{Rg}{R2+Rg})}{(\frac{Rg}{R2+Rg})}=\frac{\Delta Rg}{Rg} - \frac{\Delta (R2+Rg)}{R2+Rg}=0.01+0.02=0.03

Facendo le medesime considerazioni per \frac{\Delta (\frac{R1+Rf}{R1})}{(\frac{R1+Rf}{R1})} si arriva al medesimo risultato:

\frac{\Delta (\frac{R1+Rf}{R1})}{(\frac{R1+Rf}{R1})}=\frac{ \Delta (R1+Rf)}{R1+Rf}-\frac{ \Delta R1}{R1}=0.02+0.01=0.03

Ed ora:

\frac{\Delta [(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})]}{(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})}=\frac{\Delta (\frac{Rg}{R2+Rg})}{(\frac{Rg}{R2+Rg})}+\frac{\Delta (\frac{R1+Rf}{R1})}{(\frac{R1+Rf}{R1})}=0.03+0.03=0.06

Ed infine:

\frac{\Delta V_{out}}{V_{out}}=\frac{\Delta (-\frac{Rf}{R1})}{(-\frac{Rf}{R1})}+\frac{\Delta [(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})]}{(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{R1+Rf}{R1})}=0.06+0.02=0.08

Quindi un errore relativo sulla V_{out} dell' 8%.

E ora una semplice domanda: ho sbagliato qualcosa?

Grazie :P


PS: Documentazione: http://www.giacobbe85.altervista.org/do ... misure.pdf
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[2] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 26 gen 2010, 23:33

1) Quanta fretta hai di avere il risultato?

2) Complimenti, hai appena inventato il concetto di sensibilita` relativa, e dimostri anche di sapere che cosa sono le approssimazioni e maggiorazioni e di saperle usare

3) Credo abbia contato piu` volte lo stesso errore, oppure non tenuto conto della correlazione: se alzi un parametro in una espressione, non puoi abbassare lo stesso parametro nell'altro guadagno.

Una spiegazione veloce richiede circa un'oretta che adesso non ho, ma oggi pomeriggio o stasera si. Una piu` completa richiede ancora piu` tempo, e in questo caso sarebbe necessaria, dato che hai un circuito a due ingressi. Vedo cosa posso fare.

L'idea base comunque e` la seguente. Al posto di lavorare su guadagno invertente e non invertente, quello che ti interessa e` il guadagno differenziale Vu=Ad(V1-V2)=Ad Vd e il guadagno di modo comune Vu=Ac(V1+V2)/2=Ac Vc

Trova le espressioni di Ad e Ac, funzione delle resistenze e poi lavora su quelle espressioni che a questo punto hanno un solo ingresso (Vd o Vc). Appena riesco scrivo qualcosa.
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[3] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 27 gen 2010, 10:19

Intanto grazie della risposta IsidoroKZ.

IsidoroKZ ha scritto:1) Quanta fretta hai di avere il risultato?


Nessuna :!:

IsidoroKZ ha scritto:3) Credo abbia contato piu` volte lo stesso errore, oppure non tenuto conto della correlazione: se alzi un parametro in una espressione, non puoi abbassare lo stesso parametro nell'altro guadagno.


Effettivamente su questo punto avevo un dubbio anch' io... devo ricontrollare. Ma da quello che mi hai detto, pensandoci, mi da' l' idea che l' 8% sia un ipotesi catastrofica ed errata, ma che il risultato corretto dovrebbe essere inferiore ( potrei sbagliarmi ).

IsidoroKZ ha scritto:L'idea base comunque e` la seguente. Al posto di lavorare su guadagno invertente e non invertente, quello che ti interessa e` il guadagno differenziale Vu=Ad(V1-V2)=Ad Vd e il guadagno di modo comune Vu=Ac(V1+V2)/2=Ac Vc

Trova le espressioni di Ad e Ac, funzione delle resistenze e poi lavora su quelle espressioni che a questo punto hanno un solo ingresso (Vd o Vc). Appena riesco scrivo qualcosa.


Purtroppo i resistori sono tutti diversi, in questa configurazione il meglio che riesco a fare e':

V_{out}=-V_{1}(\frac{Rf}{R1})+V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg})+V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{Rf}{R1})

Non so se e' il modo corretto con cui procedere, ma l' unica idea che mi e' venuta e' definire una nuova tensione, quella risultante dal partitore, calcolando il suo errore a parte:

V_{+}=V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg} )

Sicche' possiamo arrivare a scrivere il guadagno differenziale (in questo caso pero' la tensione in ingresso e' tra V+ e V1):

V_{out}=(\frac{Rf}{R1})(V_{+}-V_{1})+V_{+}

A_{diff}=(\frac{Rf}{R1})

E poi calcolare i relativi errori... potrebbe essere un idea su come procedere?

IsidoroKZ ha scritto:Una spiegazione veloce richiede circa un'oretta che adesso non ho, ma oggi pomeriggio o stasera si. Una piu` completa richiede ancora piu` tempo, e in questo caso sarebbe necessaria, dato che hai un circuito a due ingressi. Vedo cosa posso fare.


Se e quando puoi apprezzerei molto, non ho fretta, grazie mille :!:
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[4] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 28 gen 2010, 9:24

Provo a raccontarti qualcosa del tuo problema. Ricordo male o fai l'ultimo anno di istituto tecnico? Gia` fatte le derivate?, si` perche' mi pareva ce l'avessi con le equazioni differenziali. E quindi anche gli sviluppi in serie di taylor.

Prima parte: Sensitivity, o sensibilita`.

Supponiamo di avere una funzione di piu` variabili, ad esempio A=f(R_1,R_2,R_3,R_4) toh, potrebbe essere una amplificazione che dipende dal valore di resistenze. Vogliamo trovare di quanto varia A al variare di ciascuna di quelle resistenze. Vogliamo trovare un legame fra la variazione di A e la variazione di R.

Questi legami si chiamano sensitivities (non si fa il plurale dei nomi inglesi in italiano, ma questo lo sto pensando mezzo in inglese :)) indicati ad esempio S^A_{R_1} che significa la sensibilita` di A alle variazioni di R_1. Le variazioni di R e A possono essere variazioni assolute, ad esempio da 10kohm la resistenza aumenta di 200 ohm, oppure variazioni relative, ad esempio la variazione della resistenza e` di 1.5%.

Il valore attuale di R_1 puo` essere ad esempio scritto come R_1=R_{n1}+\Delta R_1, dove R_{n1} e` il valore nominale di R_1 e \Delta R_1 e` la variazione assoluta di R_1 che ovviamente si misura in ohm. Pero` possiamo anche scrivere R_1=R_{n1}(1+\delta_{R_1}) in questo caso \delta_{R_1} e` la variazione relativa (anche detta percentuale) di R_1 e la si misura in niente, e` adimensionata. Se la tolleranza di R_1 e` dell'1%, avremo \delta_{R_1}=0.01.

La variazione assoluta e percentuale sono legate fra di loro da questa relazione (me l'aveva insegnata credo la maestra delle elementari :)): \delta_{R_1}=\frac{\Delta R_1}{R_{n1}}

La stessa cosa vale per tutte le altre grandezze, in particolare anche A potremo scriverlo come A=A_n+\Delta A=A_n(1+\delta_A)
Entrambi i modi di scrivere questi errori sono corretti ed esprimono lo stesso fenomeno, in qualche caso e` piu` conveniente usarne uno in qualche altro meglio usare l'altro.
Ad esempio e` naturale con le resistenze usare l'errore relativo, e anche i guadagni spesso vengono trattati con le variazioni relative.

Altre grandezze invece vengono trattate con le variazioni assolute: ad esempio la variazione della tensione V_\text{BE} di un transistore bipolare vengono date di solito in valore assoluto: ad esempio \Delta V_\text{BE}=-12\,\text{mV}.

Abbiamo quindi 4 possibili combinazioni: variazione assoluta o relativa della grandezza che ci interessa A, verso una variazione assoluta o relativa del parametro che stiamo considerando.

Cerchiamo la variazione assoluta della funzione A al variare assoluto ad esempio di R_1. Supponiamo di poter scrivere questo legame in forma lineare, con una costante che e` appunto la sensitivity. Avremo cioe` \Delta A=S^A_{R_1}\Delta R_1. Il valore della sensitivity e` dato da S^A_{R_1}=\frac{\Delta A}{\Delta R_1}

In generale non si ottiene un coefficiente S^A_{R_1} fisso perche' A dipende in modo non lineare dai suoi parametri. Pero`, se consideriamo delle piccole variazioni dei parametri, anzi, meglio delle piccolissime variazioni, sempre piu` piccole, ecco che S^A_{R_1} diventa una costante. In pratica dobbiamo calcolare S^A_{R_1}=\lim_{\Delta R_1\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta R_1}=\frac{\partial A}{\partial R_1}.

La sensitivity appena calcolata si chiama absolute sensitivity, perche' lega le due variazioni assolute, e non e` nient'altro che la derivata della funzione rispetto al parametro che stiamo considerando (R_1). La derivata deve essere calcolata con i valori nominali dei parametri.

Le unita` di misura della sensibilita` assoluta sono quelle della derivata. Ad esempio \frac{\partial A}{\partial R_1} si misura nelle unita` di misura di A (se ci sono), diviso per quelle di R_1. Se A e` un guadagno adimensionato, S^A_{R_1} si misura in reciproco di ohm (siemens)

Come detto prima, le variazioni assolute non sempre sono utili, piu` spesso si usano e sono piu` significative le variazioni relative. Se una resistenza cambia di 1 ohm e` tanto o e` poco? Non si puo` dire. Se la resistenza era da 2.2 ohm, e` una variazione enorme, se era da 1 Mohm nessuno si accorge di quella variazione.

Per trovare la sensibilita` relativa basta dividere la variazione di A per A nominale, e la variazione di R per R nominale. Questa volta la sensibilita` relativa (che e` diversa da prima) la si scrive cosi`:

\frac{\Delta A}{A_n}=\bar S^A_{R_1}\,\frac{\Delta R_1}{R_{n1}}

Non c'e`, che io sappia, una convenzione per indicare le sensitivity assolute e relative. Qui uso la barra per quelle relative (e la tilde per le semirelative). Si puo` ricavare facilmente il valore della sensibilita` relativa:

\bar S^A_{R_1}=\frac{\Delta A}{A_n}\,\frac{R_{n1}}{\Delta R_1}=\frac{\Delta A}{\Delta R_1}\,\frac{R_{n1}}{A_n}

Questa e` una approssimazione che vale solo per piccole variazioni di R, e come prima per avere una costante dobbiamo passare al limite:

\bar S^A_{R_1}=\lim_{\Delta R_1 \to 0}\frac{\Delta A}{\Delta R_1}\,\frac{R_{n1}}{A_n}=\frac{\partial A}{\partial R_1}\,\frac{R_{n1}}{A_n}

Anche in questo caso la derivata e` calcolata con i valori nominali dei parametri. Una sensibilita` relativa e` sempre adimensionata, essendo il rapporto fra due percentuali.

Ci sono poi ancora le sensibilita` semirelative, si ricavano in modo analogo, scrivo solo le definizioni
\tilde S^A_{R_1}=\frac{\partial A}{\partial R_1}\,\frac{1}{A} e anche \tilde S^A_{R_1}=\frac{\partial A}{\partial R_1}\,R_{n1}

La prima e` la sensibilita` semirelativa che fornisce le variazioni relative di A rispetto alle variazioni assolute di R_1, mentre la seconda e` la sensibilita` semirelativa (stesso nome :() che da` le variazioni assolute di A rispetto alle variazioni relative di R_1.

La sensitivity \frac{\partial A}{\partial R_1}\,\frac{1}{A} e` misurata in reciproco di ohm, mentre \frac{\partial A}{\partial R_1}\,R_{n1} ha le unita` di misura di A (nel nostro esempio adimensionato)


Tutti questi conti e derivazioni dovrebbero essere fatti con gli sviluppi in serie di Taylor a piu` dimensioni, ma probabilmente non ne vale la pena (avevo cominciato cosi`, poi mi e` parso piu` opportuno semplificare. SI` questa e` la versione semplificata :))

Le variazioni dei componenti che si trovano in elettronica sono fortunatamente piccole, e quindi non servono le higher order sensitivities. Gli interessati e i masochisti (i due insiemi praticamente coincidono) trovano qui una bella presentazione power point.

Vediamo un esempio, calcolando la sensibilita` del guadagno A=\frac{V_\text{out}}{V_\text{in}} di questo circuito al variare dei parametri:

Ampli Sensitivity.gif
Ampli Sensitivity.gif (1.46 KiB) Osservato 5525 volte

Il guadagno di questo amplificatore vale: A=\frac{R_4}{R_3+R_4}\,\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right) Se i componenti fossero ideali, il guadagno sarebbe 5.6 volte. Calcoliamo adesso le sensitivities relative (viene parecchia algebra), cominciando da R_1

\bar S^A_{R_1}=\frac{\partial A}{\partial R_1}\,\frac{R_{n1}}{A_n}=\frac{\partial}{\partial R_1}\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}\,\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)\right)\frac{R_{n1}}{\frac{R_{n4}}{R_{n3}+R_{4}}\,\left(1+\frac{R_{n2}}{R_{n1}}\right)}

Calcoliamo la derivata e facciamo qualche semplificazione nella seconda frazione. La derivata va calcolata nel punto nominale, per questo i valori di resistenza hanno acquisito il pedice "nominal"

\bar S^A_{R_1}=-\frac{R_{n2}R_{n4}}{R^2_{n1}(R_{n3}+R_{n4})}\,\frac{R^2_{n1}(R_{n3}+R_{n4})}{R_{n4}(R_{n1}+R_{n2})}=-\frac{R_{n2}}{R_{n1}+R_{n2}}=-\frac{56\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+56\,\text{k}\Omega}=-.848

Questo ci dice che se la resistenza R_1 aumenta dell'1%, il guadagno Vout/Vin diminuisce (segno negativo) dello 0.85% circa.

I valori delle altre tre relative sensitivities sono questi:

\bar S^A_{R_2}=\frac{R_{n2}}{R_{n1}+R_{n2}}=\frac{56\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+56\,\text{k}\Omega}=.848
\bar S^A_{R_3}=-\frac{R_{n3}}{R_{n3}+R_{n4}}=-\frac{10\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+56\,\text{k}\Omega}=-.152
\bar S^A_{R_4}=\frac{R_{n3}}{R_{n3}+R_{n4}}=\frac{10\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+56\,\text{k}\Omega}=.152

Una verifica rapida sul segno delle sensitivity e` facile da farsi. Si immagina di aumentare il valore di un componente e di solito si vede se il guadagno complessivo aumenta o diminuisce, da cui il segno della sensitivity e` positivo o negativo.
Se non e` immediato vedere l'effetto del cambiamento del componente, si puo` sempre provare a farlo diventare un circuito aperto oppure un cortocircuito.

Barbatrucco: le sensitivities possono essere approssimate usando un simulatore circuitale o anche uno spreadsheet. Si fanno piccoli cambiamenti a un parametro e si vede di quanto cambia la funzione di trasferimento (non la tensione di uscita). Spice ha una funzione per il calcolo della sensitivity, ma non e` di immediato utilizzo.

L'analsi dell'errore nel circuito differenziale e` per il prossimo messaggio.
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[5] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 28 gen 2010, 14:31

Innanzitutto grazie IsidoroKZ del tempo dedicato!
Sembra piu' un articolo che un post =D> =D>

Se non mi precedi vorrei ( entro stasera o al massimo domani ) ri-provare a fare lo studio dell' amp-differenziale io stesso (con il metodo che hai spiegato qui sopra), il succo della faccenda mi sembra di averlo capito :!:
Poi sarebbe bello poter trovare la curva reale della sensibilita' di uno dei parametri per vedere fino a che punto e' lecito usare quella approssimata ( ovvero quanto velocemente il differenziale calcolato nel punto nominale si distacca dalla curva reale ) :o
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[6] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto Utentedenisrn » 29 gen 2010, 21:01

Solamente ora che mi sono sono messo sui calcoli capisco perche' sia cosi' importante avere un guadagno di modo comune ed uno differenziale :mrgreen:

I gentili autori dei libri di testo di elettronica che ho a disposizione hanno ben pensato che questi guadagni non fossero necessari, e infatti ho notato che tutti trattano l' amplificatore come ho fatto io stesso qui sopra (Vo=f(Vi)). Di conseguenza ho dovuto ricavare quello che scrivo di seguito, che non posso essere certo sia esatto :oops:

Innanzitutto ripropongo lo schema dell' amplificatore (thank you another time Wikipedia) :

Immagine

E di seguito riporto la formula di V_{out} espansa:

V_{out}(V_{1}, V_{2})=V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{Rf}{R1})+V_{2}(\frac{Rg}{R2+Rg})-V_{1}(\frac{Rf}{R1})

Per trovare il guadagno in modo comune ho immaginato di dare uno stesso incremento \Delta ad ambedue le tensioni (che per comodita' penso siano uguali a 0), trovando quindi:

V_{out}(\Delta)=\Delta(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{Rf}{R1})+\Delta(\frac{Rg}{R2+Rg})-\Delta(\frac{Rf}{R1})

E di conseguenza:

A_{com}=\frac{V_{out}(\Delta)}{\Delta}=(\frac{Rg}{R2+Rg})(\frac{Rf}{R1}+1)-(\frac{Rf}{R1})

Mentre per il calcolo del guadagno differenziale ho pensato di tenere costante una delle due tensioni (per comodita' V_{2}=0) variando solo l' altra (per comodita' V_{1}) e di conseguenza:

V_{out}(V_{1}, 0)=-V_{1}(\frac{Rf}{R1})

A_{diff}=-\frac{V_{out}(V_{1}, 0)}{V_{1}}=\frac{Rf}{R1}

Nell' ultimo passaggio ho dovuto inserire un ( - ) perche' quel guadagno pressupporrebbe altrimenti che la tensione differenziale in ingresso sia (V_{1}-V_{2}), invece nel mio caso la tensione in ingresso e' (V_{2}-V_{1}), ovvero il potenziale maggiore "entra" nel morsetto V_{+} dell' OP-AMP (opportunamente scalato dal partitore resistivo).

Ora, presupponendo che quanto precede sia corretto, ho tutto quello che mi serve per trovare le Sensitivities correlate ai guadagni :mrgreen:

Provo a titolo di esempio con quelle legate ad R1 :

\bar S^{A_{diff}}_{R_1}=\frac{\partial A_{diff}}{\partial R1}\frac{R1}{A_{diff}}=-1

\bar S^{A_{com}}_{R_1}=\frac{\partial A_{com}}{\partial R1}\frac{R1}{A_{com}}=\frac{Rf(R2+Rg)-Rg*Rf}{Rg(Rf+1)-Rf(R2+Rg)}


Could it be any correct? :mrgreen:
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[7] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 30 gen 2010, 5:59

No, si dice thank you one more time, non another time :)

La questione del guadagno di modo comune e differenziale e` importante, e` il cuore degli amplificatori differenziali e da strumentazione, meglio trattarla in dettaglio. Se avessi studiato un po' di algebra lineare e spazi vettoriali sarebbe molto piu` semplice. Sappi che ti aspettano al varco quando sarai all'universita`.

Prendiamo un circuito lineare con due ingressi e una uscita, V_\text{out}=f(V_1,V_2). Essendo lineare, puo` solo essere del tipo V_\text{out}=-A_1 V_1+A_2V_2 Ho messo il segno negativo ad A_1 cosi` dopo ci si ritrova, ma ci sono anche altre analisi senza segno meno esplicito.

(Aperta parentesi: una espressione del tipo y=ax+b non e` lineare, al piu` la si puo` definire lineare affine :). Per questa ragione l'espressione di prima che ho assunto lineare non puo` avere un termine costante.)

Quando si usa un amplificatore differenziale si e` interessati alla differenza delle due tensioni di ingresso, differenza che porta l'informazione utile. Il valore assoluto di ciascuna delle due tensioni invece non solo non porta inormazione, ma potrebbe essere dannoso. Se si scrive il guadagno dell'ampli differenziale in questo modo V_\text{out}=-A_1 V_1+A_2V_2 aggiungendo magari che deve essere A_1=A_2 non si da` molta informazione in piu` su come funziona bene o male l'ampli differenziale.

Al posto di usare V_1 e V_2, ciascuna moltiplicata per la propria costante, e` molto piu` significativo mettere in evidenza l fatto che la differenza di tensione fra V_1 e V_2 e` la quantita` importante, quantita` che chiamiamo tensione differenziale V_\text{d}=V_2-V_1.

Non possiamo semplicemente buttare via V_1 e V_2 e usare solo V_\text{d} perche' stiamo perdendo una dimensione: siamo partiti da due tensioni e ne abbiamo solo una: questa non e` una rappresentazione equivalente.

Dobbiamo introdurre una seconda tensione, detta tensione di modo comune V_\text{c} definita in questo modo: V_\text{c}=\frac{V_1+V_2}{2}. In pratica V_\text{c} e` la media fra le tensioni V_1 e V_2.

Rappresentare un sistema di tensioni usando V_1 e V_2 oppure V_\text{d} e V_\text{c} e` la stessa cosa, si rappresenta sempre la stessa situazione. Il vantaggio e` che V_1 e V_2 sono facili da misurare, mentre V_\text{d} e V_\text{c} sono significative perche' mostrano il termine importante, quello che porta informazione V_\text{d} e quello rompiscatole V_\text{c}.

Dal punto di vista matematico questo e` un cambiamento di base in uno spazio vettoriale!

Date V_1 e V_2 si trovano V_\text{d} e V_\text{c} con le formule viste sopra (differenza e media), mentre date V_\text{d} e V_\text{c} si torna a V_1 e V_2 in questo modo:

\left\{\begin{align}V_1=V_\text{c}-\frac{V_\text{d}}{2} \\ \\ V_2=V_\text{c}+\frac{V_\text{d}}{2}\end{align} mentre le altre sono \left\{\begin{align}V_\text{d}=V_2-V_1\\ \\ V_\text{c}=\frac{V_1+V_2}{2}\end{align}

Esempio (ufficio lavori inutili, solo per verifica), se prendiamo V_1=4\,\text{V}\quad V_2=3\,\text{V} otteniamo V_\text{d}=3\,\text{V}-4\,\text{V}=-1\,\text{V} e per il modo comune V_\text{c}=\frac{4\,\text{V}+3\,\text{V}}{2}=3.5\,\text{V}. Se prendiamo queste due tensioni e le mettiamo nelle due equazioni di sinistra, riotteniamo V_1 e V_2. Abbiamo solo un'altra rappresentazione (utile) dello stesso sistema di tensioni. Utile perche' sono rappresentati in modo esplicito sia il segnale utile V_\text{d} che quello rompiscatole V_\text{c}.

Andiamo a sostituire le espressioni di V_\text{d} e V_\text{c} nell'equazione del guadagno dell'amplificatore e mettiamo in evidenza V_\text{d} e V_\text{c}

V_\text{out}=-A_1 \left(V_\text{c}-\frac{V_\text{d}}{2}\right) +A_2 \left(V_\text{c}+\frac{V_\text{d}}{2}\right)=\left(\frac{A_1+A_2}{2}\right)V_\text{d}+(A_2-A_1)V_\text{c}

In questo modo si vede quanto e` amplificato il segnale differeziale e quando il segnale comune. Si puo` scrivere V_\text{out}=A_\text{d} V_\text{d}+A_\text{c} V_\text{c} dove si e` definito

\left\{\begin{align}A_\text{d}=\frac{A_1+A_2}{2} \\ \\ A_\text{c}=A_2-A_1\end{align}

OK, ci siamo: abbiamo il guadagno di modo differenziale e quello di modo comune. Se, come si spera, A_1=A_2=A il guadagno differenziale vale A_\text{d}=A mentre quello di modo comune vale A_\text{c}=0. In effetti l'amplificatore differenziale lo si utilizza proprio per non sentire il modo comune e amplificare invece di una quantita` nota e stabile il modo differenziale.

Peccato pero` che A_1 e A_2 non siano proprio identici, e quindi avremo errori su A_\text{d} e su A_\text{c}. Calcoliamo prima queste due grandezze in funzione delle resistenze e poi ci facciamo su i conti. Faccio riferimento al mio schema che ha dei nomi umani per le resistenze. I valori vedremo dopo che non sono importanti.

Ampli Sensitivity1.gif
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I valori dei guadagni A_1 e A_2 sono:

\left\{ \begin{align}A_1&=\frac{R_2}{R_1} \\ \\ A_2&=\frac{R_4}{R_3+R_4}\,\frac{R_2+R_1}{R_1}\end{align} e per A_\text{d} e A_\text{c} si ha invece \left\{ \begin{align}A_\text{d}&=\frac{1}{2}\left(\frac{R_4}{R_3+R_4}\,\frac{R_2+R_1}{R_1}+\frac{R_2}{R_1} \right)\\ \\ A_\text{c}&=\frac{R_4}{R_3+R_4}\,\frac{R_2+R_1}{R_1}-\frac{R_2}{R_1} \end{align}

Da notare che il guadagno A_1 non ha il segno negativo in quanto l'avevo gia` messo esplicitamente in evidenza nella definizione iniziale del guadagno.

Se si riuscisse a fare R_4=R_2 e R_3=R_1 (o anche solo R_4=k\,R_2 e R_3=k\,R_1, con k>0 una costante qualunque) si avrebbe A_\text{d}=\frac{R_2}{R_1} e A_\text{c}=0. Purtroppo questo non capita per due motivi almeno: le resistenze hanno una certa tolleranza relativa \delta_R e in serie a R_1 e R_3 c'e` la resistenza interna della sorgente che puo` provocare danni cambiando il valore effettivo delle resistenze di ingresso dell'amplificatore differenzaie. Per questa ragione gli amplificatori differenziali e da strumentazione hanno spessissimo dei buffer (o qualcosa di piu` complicato) davanti. Le resistenze del differenziale sono "sacre" non devono essere disturbate.

Calcoliamo adesso la sensitivity dei guadagni rispetto alle variazioni delle resistenze (e questo era il quesito originario). Le resistenze sono caratterizzate da una variazione percentuale, e quindi e` naturale considerare le loro variazioni relativa. Anche per il guadagno differenziale e` una buona scelta utilizzare la variazione relativa. Dobbiamo trovare cioe` la relative sensitivity di A_\text{d} rispetto alle quattro resistenze. Il metodo per calcolare la relative sensitivity e` nel post precedente:

\bar S^{A_\text{d}}_R=\frac{\partial A_\text{d}}{\partial R}\,\frac{R}{A_\text{d}} Al posto della generica R che ho indicato bisogna ripeterli per le quattro resistenze (Una noia disumana fare tutti questi conti, per fortuna che ci sono i programmi di manipolazione simbolica delle espressioni). Le derivate e i guadagni devono essere calcolati con i valori nominali delle resistenze. Questo significa che prima si fanno i conti con R_1,\,R_2,\,R_3,\,R_4 poi si reintroduce la condizione che R_4=R_2 e che R_3=R_1
I risultati sono questi (se non ho sbagliato i conti)

\left\{\begin{align} 
\bar S^{A_\text{d}}_{R_1}&=-\frac{R_1+2 R_2}{2R_1+2R_2}&=&-\frac{2A_\text{d}+1}{2A_\text{d}+2} \\
\bar S^{A_\text{d}}_{R_2}&=\frac{R_1+2 R_2}{2R_1+2R_2}&=&\frac{2A_\text{d}+1}{2A_\text{d}+2}\\
\bar S^{A_\text{d}}_{R_3}&=-\frac{R_1}{2(R_1+R_2)}&=&-\frac{1}{2(A_\text{d}+1)}\\
\bar S^{A_\text{d}}_{R_4}&= \frac{R_1}{2(R_1+R_2)}&=& \frac{1}{2(A_\text{d}+1)}
\end{align}

Vorsicht!: dietro questi risultati c'e` tanta algebra: semplice ma tanta!

Vediamo ora di calcolare le sensitivities per il guadagno di modo comune A_\text{c}. In questo caso le resistenze hanno sempre una variazione relativa, ma non si puo` calcolare la variazione relativa di A_\text{c} perche' il suo valore nominale e` zero! Se una grandezza passa da 0 a un valore anche piccolissimo, la sua variazione relativa e` infinita. Per A_\text{c} e` necessario (e anche piu` sensato) calcolare la variazione assoluta.

Si deve quindi usare la sensibilita` semirelativa, definita in questo modo: \tilde S^{A_\text{c}}_R=\frac{\partial A_\text{c}}{\partial R}R, al solito valutata per le quattro diverse resistenze. Da osservare che anche questa sensitivity e` adimensionata. I risultati sono (con il solito pacco di algebra, sempre se non ho sbagliato i conti)

\left\{\begin{align} 
\tilde S^{A_\text{c}}_{R_1}&=\frac{R_2}{R_1+R_2}&=&\frac{A_\text{d}}{A_\text{d}+1}\\
\tilde S^{A_\text{c}}_{R_2}&=-\frac{R_2}{R_1+R_2}&=&-\frac{A_\text{d}}{A_\text{d}+1}\\
\tilde S^{A_\text{c}}_{R_3}&=-\frac{R_2}{R_1+R_2}&=&-\frac{A_\text{d}}{A_\text{d}+1}\\
\tilde S^{A_\text{c}}_{R_4}&=-\frac{R_2}{R_1+R_2}&=& \frac{A_\text{d}}{A_\text{d}+1}\\
\end{align}

E` fatta, questi sono i risultati! Adesso comincia la parte difficile: che cosa vogliono dire? Cominciamo con il guadagno differenziale, che era quello che ti interessava. Guardiamo i segni \bar S^{A_\text{d}}_{R_1} e \bar S^{A_\text{d}}_{R_3} sono negativi: se R_1 e R_3 aumentano il guadagno differenziale diminuisce. Invece \bar S^{A_\text{d}}_{R_2} e \bar S^{A_\text{d}}_{R_4} sono positive: se R_2 e R_4 diminuiscono, il guadagno diminuisce.

Se vogliamo calcolare la massima variazione del guadagno differenziale A_\text{d} dobbiamo considerare che R_1 e R_3 aumentino e R_2 e R_4 diminuiscano. Poi consideriamo che tutte le resistenze cambino della stessa percentuale \delta_R:

\begin{align}\frac{\Delta A_\text{d}}{ A_\text{d}}
&=\bar S^{A_\text{d}}_{R_1} (\delta_{R_1})+\bar S^{A_\text{d}}_{R_2} (-\delta_{R_2})+\bar S^{A_\text{d}}_{R_3} (\delta_{R_3})+\bar S^{A_\text{d}}_{R_4} (-\delta_{R_4})\\
&=2\left( \frac{2A_\text{d}+1}{2A_\text{d}+2}+\frac{1}{2A_\text{d}+2}\right)\delta_R=2\delta_R
\end{align}

E questo e` il risultato che cercavi: se le resistenze sono all'1% nel caso piu` sfortunato la variazione del guadagno e` del 2%!

Ma c'e` un altro risultato ancora piu` importante, ed e` quello del guadagno di modo comune A_\text{c}, che da 0 diventa diverso da zero. La sua variazione si calcola come prima, questa volta bisogna pero` supporre che ad esempio R_1 e R_4 aumentino e R_2 e R_3 diminuiscano. Seguendo la stessa procedura di prima si ottiene:

\begin{align}\Delta A_\text{c}=
&=\tilde S^{A_\text{c}}_{R_1} (\delta_{R_1})+\tilde S^{A_\text{c}}_{R_2} (-\delta_{R_2})+\tilde S^{A_\text{c}}_{R_3} (-\delta_{R_3})+\tilde S^{A_\text{c}}_{R_4} (\delta_{R_4})\\
&=4 \frac{A_\text{d}}{A_\text{d}+1}\delta_R\approx 4\delta_R
\end{align}

Se A_\text{d} e` abbastanza piu` grande di 1, con le resistenze all'1% si ottiene A_\text{c}\approx .04 e questo potrebbe essere un grosso guaio.

Supponiamo di voler misurare una caduta di tensione di 80mV su una resistenza di shunt, e di voler trasformare questa caduta di tensione in una tensione di 4V per mandarla all'A/D di un micro. Supponiamo che che questa resistenza sia collegata sul positivo dell'alimentazione a 12V. Abbiamo V_\text{d}=80\,\text{mV}, \quad V_\text{c}=11.95\,\text{V}. Ci serve un guadagno differenziale A_\text{d}=50 e se facciamo le cose per bene il guadagno di modo comune A_\text{c} dovrebbe venire nullo.

Realizziamo l'amplificatore con resistori all'1%, quindi \delta_R=.01
Quali sono gli effetti sull'amplificatore? Sappiamo che al massimo A_\text{d} puo` cambiare del 2%, quindi il guadagno potra` variare da 49 a 51 e la lettura sara` errata al max del 2%.

Adesso pero` arriva il guaio: quale sara` la tensione in uscita dall'amplificatore? Riprendiamo l'equazione che fornisce la tensione di uscita in funzione delle grandezze di modo differenziale e di modo comune e sostituiamo i numeri:

V_\text{out}=A_\text{d} V_\text{d}+A_\text{c} V_\text{c}=50\cdot 80\,\text{mV}+11.95\,\text{V}\cdot .04=4\,\text{V}+.478\,\text{V}

URCA! Il modo comune, a causa del resistor mismatch, raggiunge l'uscita e puo` dare un errore, in questo caso, del 12%. In realta` il modo comune, non abbastanza attenuato dall'amplificatore differenziale, da` in uscita un errore costante (un offset) che puo` arrivare a 478mV!

In un amplificatore differenziale o da strumentazione e` importante il valore del guadagno differenziale, perche' e` quello che trasforma la grandezza sentita nel sistema in grandezza misurata dal processore (o chi per lui), ma e` ancora piu` importante che il guadagno di modo comune rimanga praticamente a zero.

Il parametro che indica quanto e` buono un amplificatore differenziale e` il Common Mode Rejection Ratio, CMRR definito in questo modo CMRR=\frac{A_\text{d}}{A_\text{c}}. Nell'esempio fatto, si ha CMRR=\frac{50}{.04}=1250\,\to\,62\,\text{dB}. Gli amplificatori da strumentazione integrati arrivano oltre al centinaio di decibel.

I conti approssimati delle sensitivities un'altra volta!
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[8] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 30 gen 2010, 11:33

IsidoroKZ: un grande!! =D>
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[9] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto Utentegiorgio25760 » 30 gen 2010, 11:50

=D> =D> =D>
Isidoro, perché questo post non lo metti su electro you ?
I tuoi interventi sarebbero utili lì, nei 3d sono difficoltosi da cercare !

Ciao
Giorgio
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[10] Re: Amp. differenziale: propagazione degli errori

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 gen 2010, 11:54

Be' Isidoro, da quando non usciamo più con Sasha e Jenna siamo diventati verdi per la rabbia, ma tu fai dei post che sono dei Masterpieces :!: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

... direi che quest'ultimo dovresti proprio trasformarlo in Articolo :!: =D>
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