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Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

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[1] Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentefisica » 20 mar 2010, 14:15

ho da proporvi un esercizio, vi dico da subito che non ho idea di come risolverlo, quindi se qualcuno di voi sa come risolverlo ma soprattutto è capace di farmelo capire, gliene sarei davvero grato, altrimento pazienza, io comunque lo posto, sempre meglio tentare :D

In una sfera di raggio R=5 cm e centro O è praticata una cavità, anch'essa sferica, di raggio r = 2 cm, il cui centro O' dista 2 cm da O. Nella parte piena della sfera cava è distribuita uniformemente una carica Q=10^(-8) C. Determinare:
a) il campo elettrico nel punto P(2 cm, 1 cm, 0);
b) la forza esercitata dalla sfera cava su un elettrone posto nel punto A(0, 5 cm, 0);
c) il lavoro compiuto dalle forze applicate per spostare l'elettrone da A a B(5 cm, 0, 0).

Grazie :wink:
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[2] Re: esercizio d elettrostatica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 20 mar 2010, 15:00

Un disegno grazie :wink:

ma forse faccio prima a farmelo ... ho paura di vedere Paint in azione :mrgreen:

xex.jpg
xex.jpg (73.69 KiB) Osservato 11274 volte


Il metodo comunque, supposta la linearità dei mezzi, sarà quello di usare la sovrapposizione degli effetti per calcolare il campo attraverso la somma vettoriale di due contributi:
a) quello di una prima sfera 1 piena, da R1=5cm e carica

Q_{1}=\frac{Q}{(R_{1}^{3}-R_{2}^{3})}R_{1}^{3}=\frac{1\times 10^{-8}}{(5^{3}-2^{3})}5^{3}=\frac{1\times 10^{-8}}{1-\left( \frac{2}{5} \right)^{3}}\approx 1,0684\times 10^{-8}\,\,C

b) quello di una seconda sfera 2 con R2=2cm, idealmente presente nella cavità con carica

Q_{2}=-Q_{1}\left( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right)^{3}=-\frac{8}{125}\,\,Q_{1}

in quanto puoi supporre che la configurazione iniziale sia equivalente alla presenza di due regioni sferiche uniformemente cariche e compenetrate con densità di carica di segno opposto.
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[3] Re: esercizio d elettrostatica

Messaggioda Foto Utentefisica » 20 mar 2010, 15:43

Edit: Non usare il tasto CITA per la risposta. Usa il tasto RISPONDI. TardoFreak

grazie per avermi risposto, in effetti avevo intenzione di inserire il disegno ma non so come fare, se mi dici come fare, lo inserisco subito :wink:
un'altra cosa, purtroppo non leggo bene le formule che hai scritto, potresti riscriverle?
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[4] Re: esercizio d elettrostatica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 20 mar 2010, 15:52

se non leggi le formule non so proprio cosa farci, cambia browser :wink:

BTW cosa studi e dove ? <----- 2 domande :!:
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[5] Re: esercizio d elettrostatica

Messaggioda Foto Utentefisica » 20 mar 2010, 15:58

con explorer non si leggono con firefox invece si :o
comunque sia per quanto riguarda il disegno hai fatto è praticamente identico a quello che ho nel libro :D
se ti va di scrivermi tutti i passaggi dell'esercizio te ne sarei grato davvero, altrimenti non importa ^^
capisco benissimo che forse chiedo troppo a volere lo svolgimento intero dell'esercizio,
ma apprezzo comunque l'aiuto che mi hai dato :P
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[6] Re: esercizio d elettrostatica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 20 mar 2010, 21:37

fisica ha scritto:con explorer non si leggono con firefox invece si :o

mi sembra molto strano ...io ho un explorer del '48 e le vedo :wink:


fisica ha scritto: se ti va di scrivermi tutti i passaggi dell'esercizio te ne sarei grato davvero, altrimenti non importa ...


dopo quel consiglio che ti ho dato lo risolvi in 5 minuti ... se lo faccio io, che "esercizio" è per la tua preparazione ? ... gli ultimi consigli che ti posso dare sono:
a) ... dato che con P siamo "dentro le sfere" ... ricordati il teorema di Gauss
b) ... per A siamo invece "fuori" da entrambe :wink:
c) ... passando da A a B la differenza di potenziale elettrostatico relativa alla sfera "1" è nulla per la "2" no.
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[7] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 2 lug 2010, 15:57

Girovagando per la rete in cerca di una soluzione alle mie difficoltà mi sono imbattuto in questo topic, trovando fortunatamente qualcuno che ha avuto il mio stesso problema.
Studiando dal mio libro di Fisica II ho trovato un esempio, non spiegato in modo chiarissimo, di questa tipologia di esercizio.
Tale esempio spiega come calcolare il campo elettrico nel caso di una distribuzione sferica con cavità sferica interna non concentrica, quindi simile a quello della traccia. Nel mio caso, non vengono dati numeri, ma solo delle formule, senza tutto il ragionamento matematico che bisogna seguire per ottenerle. Tuttavia sul libro ho trovato scritto, come suggerito anche da RenzoDF, di utilizzare il teorema di gauss associato al principio di sovrapposizione per ottenere il campo E come somma di contributi generati da distribuzioni di carica perfettamente simmetriche.
Secondo quanto riportato sul testo dovrei considerare la sfera carica con cavità sferica vuota come equivalente ad una sfera piena(senza cavità) di raggio R1 (nel nostro caso 5 cm), con centro O e densità di carica rho1 (ϱ1), più una seconda sfera di raggio R2(nel nostro caso 2 cm), centro O' e densità di carica rho2 ( ϱ2).
Ho provato a risolvere l'esercizio con i dati forniti in traccia e con le uniche formule date dal testo (che non spiega come arrivarci):

E(P) = E_{1}(P) + E_{2}(P) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (r_{1} - r_{2}) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (OP - O^{l}P})

con

\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

Provando ad applicare le formule con i dati forniti dal problema ho ottenuto il valore di 0,95 (nella formula del campo elettrico ho ottenuto il valore di OP utilizzando il teorema di pitagora, ottenendo quindi il valore 2,24).

Non riuscendo a capire da dove venissero quelle formule, ho provato a fare come spiegato sul testo, cioè a calcolare i campi elettrici delle due sfere e sommarli algebricamente.

Ho quindi ottenuto applicando le formule generali del campo elettrico in una distribuzione spaziale sferica:

E_{1}(P) = \frac{Q_{1} \bullet OP}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}^{3}}\;\;\;con\;\;\;OP<R_{1}

e

E_{2}(P) = \frac{Q_{2} \bullet O^{l}P}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}^{3}}\;\;\;con\;\;\;O^{l}P<R_{1}

Dalla prima ho ottenuto

E_{1} = 1,61

e dalla seconda, grazie al suggerimento dato da RenzoDF a riguardo della carica

Q_{2} = - \left( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right)^{3} \bullet Q_{1} = - \frac{8}{125} \bullet 10^{-8} C

ho ottenuto il valore

E_{2} = -0,67

quindi, sommando le due ho ottenuto

E_{tot} = E_{1} + E_{2} = 1,61 - 0,67 = 0,94

quindi se i calcoli sono corretti, dovrei ritrovarmi con il libro di testo.

Tuttavia, pur essendo riuscito a risolvere il problema, mi è rimasto il dubbio sull'aiuto fornito da RenzoDF, cioè:

RenzoDF ha scritto:
Q_{2}=-Q_{1}\left( \frac{R_{2}}{R_{1}} \right)^{3}



1) Sapendo che i valori dei raggi sono 5 cm e 2 cm, elevando al cubo non dovremmo ottenere 8 e 125? Suppongo sia comunque una distrazione e che intendesse quei valori.

2) Sareste in grado di spiegarmi il ragionamento matematico da seguire per ottenere tale formula (cioè quella che mette in relazione Q2 a Q1)? Non sono riuscito a capirlo da solo, e nemmeno il libro di testo mi ha aiutato a riguardo.

3) Il procedimento seguito da me è corretto? Oppure è una coincidenza che i risultati sono gli stessi applicando la formula del libro di testo e la formula ottenuta dai miei ragionamenti?

In attesa di chiarezza riguardo alle mie questioni, vi saluto, mi congratulo per il forum (potrei diventare un membro molto assiduo visto le mie difficoltà in queste materie), e vi ringrazio anticipatamente.

- Wasp1311
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[8] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 2 lug 2010, 16:13

1) hai ragione ho fatto i quadrati inveche che i cubi #-o

2) è solo una proporzione fra due volumi sferici !

3) la prima formula E(P)=... è una relazione vettoriale NON scalare :!:

4) in che senso non le hai capite ?


Grazie :D
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[9] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 2 lug 2010, 16:43

wasp1311 ha scritto:Secondo quanto riportato sul testo dovrei considerare la sfera carica con cavità sferica vuota come equivalente ad una sfera piena(senza cavità) di raggio R1 (nel nostro caso 5 cm), con centro O e densità di carica rho1 (ϱ1), più una seconda sfera di raggio R2(nel nostro caso 2 cm), centro O' e densità di carica rho2 ( ϱ2).


le densità di carica sono uguali in valore assoluto !

wasp1311 ha scritto:Ho provato a risolvere l'esercizio con i dati forniti in traccia e con le uniche formule date dal testo (che non spiega come arrivarci):

E(P) = E_{1}(P) + E_{2}(P) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (r_{1} - r_{2}) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (OP - O^{l}P})

con

\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}


la prima di queste formule è vettoriale, e la seconda serve per trovare la comune densità di carica; sempre come valore assoluto naturalmente :!:

BTW quel "puntone" \bullet (\bullet) che hai inserito nelle tue formule serve a volte per indicare il prodotto scalare (anche se io lo uso più piccolo) e non per indicare un prodotto fra scalari.
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[10] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 2 lug 2010, 16:57

RenzoDF ha scritto:1) hai ragione ho fatto i quadrati inveche che i cubi #-o


Ok, l'avevo sospettato.


RenzoDF ha scritto: 2) è solo una proporzione fra due volumi sferici !


Ok, capisco... Ciò che chiedo è comunque come hai ottenuto quella formula. Non dubito che funzioni, ma proprio non riesco a spiegarmi da quale proporzione si può ottenere. Mi faresti vedere tutti i passaggi necessari per ottenere quella formula?

RenzoDF ha scritto:3) non riesco a capire bene cosa hai scritto mi spiegheresti la tua prima formula ? ( \quad E(P)=...)


La prima formula è quella usata dal libro di testo. Praticamente la prima formula mi viene data dal libro senza spiegazioni... Dice solo questo, te lo riporto integralmente:

Libro di testo ha scritto:
Si vuole calcolare il campo elettrico generato da una carica Q uniformemente distribuita in una sfera di raggio R1, che presenta una cavità sferica di raggio R2, non concentrica. La presenza della cavità non concentrica con la distribuzione di carica, fa venir meno la simmetria e quindi la possibilità di ricavare direttamente il campo elettrico mediante il teorema di Gauss. Faremo vedere che per problemi di questo tipo è possibile far ricorso al principio di sovrapposizione e ottenere il campo E come somma di contributi generati da distribuzioni di carica perfettamente simmetriche. Detta /rho la densità spaziale di carica, pari a:

\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

la cavità sferica vuota di raggio R2 e centro O' si può considerare come somma di due distribuzioni di carica di densità +/rho e -/rho rispettivamente.
In questo modo possiamo considerare la sfera carica con cavità sferica vuota come equivalente ad una sfera piena(senza cavità) di raggio R1, centro O e densità +/rho, più una seconda sfera di raggio R2, centro O' e densità -/rho.
Per il principio di sovrapposizione si può calcolare il campo in un punto generico P come somma dei campi delle due distribuzioni sferiche di carica, che sappiamo valutare.
E' interessante valutare il campo in un punto generico interno alla cavità. Se si indicano con r1 e r2 rispettivamente i vettori posizione che individuano P rispetto a O ed O', utilizzando la E(r) = \frac{Q\bullet r}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}
dal momento che P è interno ad entrambe le sfere cariche, si può scrivere

E(P) = E_{1}(P) + E_{2}(P) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (r_{1} - r_{2}) =  \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (OP - O^{l}P})

Il campo nella cavità è perciò uniforme ed eguale a quello che si avrebbe in O' se non vi fosse la cavità.



La formula l'ho presa proprio dal libro. Ho sostituito i dati forniti e ho calcolato il campo E.
Poi comunque ho provato, come scritto nel post precedente, a risolverla tramite un altro metodo e utilizzando quel metodo sono giunto allo stesso risultato (usando però la formula che mette in relazione Q2 a Q1, che non ho capito come ottenerla). Il procedimento "alternativo" a quello proposto dal libro di testo è corretto?
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