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Numero poli e zeri di un'ammettenza

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Numero poli e zeri di un'ammettenza

Messaggioda Foto Utentejhonny » 2 set 2010, 17:14

Il numero di poli di un impedenza coincide con il numero di elementi reattivi distinti, cioè, né in serie né in parallelo, presenti nel circuito. Dunque il numero di zeri della corrispondente ammettenza coincide con il numero di elementi reattivi distinti, cioè, né in serie né in parallelo, presenti nel circuito.

Facendo riferimento al seguente circuito:

Edit RenzoDF: per favore ritagliare le immagini prima di postarle ! Grazie !

zp1.gif
zp1.gif (4.51 KiB) Osservato 7337 volte


Si ha che il numero di zeri dell'ammettenza è pari a 3 (compreso lo zero).

Ma come faccio a determinare tale numero ispezionando la rete? Cioè l'affermazione sopra riportata mi risulta vaga!
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[2] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto Utentejhonny » 3 set 2010, 19:23

E corretto per un ammettenza affermare quanto segue?

- Se non ci sono maglie contenenti il generatore di tensione e soli elementi induttivi allora la funzione di trasferimento ammettenza ha sicuramente uno zero in zero

- Se non ci sono maglie contenenti il generatore di tensione e soli elementi capacitivi allora la funzione di trasferimento ammettenza ha come denominatore un polinomio avente grado pari al numero di elementi reattivi (ovviamente i condensatori non devono essere connessi direttamente tra loro in parallelo o in serie e la medesima cosa per gli induttori)
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[3] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 4 set 2010, 8:38

Non ho capito bene che cosa hai detto, su che libro stai studiando, che eventualmente vado a riguardarmelo?

Comunque posso raccontarti come faccio io. Visto che non ricordo le regole generali per una immettenza, distinguo fra impedenza e ammettenza e procedo in questo modo.

Se voglio considerare una ammettenza, metto un generatore di tensione ai capi del bipolo. Se invece voglio considerare una impedenza, metto un generatore di corrente ai capi del bipolo. Dopo di che elimino serie e paralleli "banali" e meno e guardo che cosa resta della rete. Il numero di poli della funzione e` pari al numero di elementi reattivi indipendenti, per i quali cioe` si puo` imporre una condizione iniziale a piacere. Questa non e` la versione piu` generale possibile, ma va quasi sempre bene. Ci sono casi patologici, ma tipicamente si eliminano quasi tutti eliminando la serie di condensatori e i paralleli di induttori.

Nella rete che hai postato ci sono 5 elementi reattivi, non ci sono serie ne' paralleli. Se si considera l'impedenza, quindi mettendo un generatore di corrente, posso imporre a capocchia una tensione iniziale su ogni condensatore e una corrente attraverso ogni induttanza, e quindi i 5 elementi reattivi sono indipendenti, l'impedenza ha denominatore di grado 5.

Se invece studio l'ammettenza, metto un generatore di tensione sul bipolo, proprio come in figura, e a questo punto ho ancora 5 elementi reattivi, ma dopo che ho imposto la tensione su due condensatori, quella del terzo condensatore non e` piu` libera, dato che c'e` una maglia di condensatori e generatori di tensione. Il caso duale e` un nodo su cui arrivano solo induttori e generatori di corrente.

Se si studia l'ammettenza un condensatore non e` piu` libero, e quindi l'ammettenza ha un denominatore di grado 4.

Poi puo` essere utile ricordare che l'immettenza di una rete LC ha poli e zeri solo sull'asse immaginario e sono semplici e alternati. Guardando il comportamento in continua e a frequenza infinita, si hanno ulteriori informazioni. In continua tutti i condensatori sono aperti e gli induttori sono cortocircuiti. Si riesce quindi a sapere l'impedenza e l'ammettenza in continua, che per una rete LC puo` solo essere 0 o infinito, e quindi si sa come parte la sequenza di poli e zeri. Poi si guarda all'infinito e si sa se c'e` un polo o uno zero all'infinito.

Nel tuo caso, guardando l'impedenza si vede che a frequenza zero e` infinita, mentre a frequenza infinita e` zero. C'e` quindi un polo nell'origine e uno zero all'infinito. Questo significa che l'impedenza ha a denominatore un fattore s che moltiplica un polinomio e che il numeratore ha grado inferiore del denominatore.

Se invece si guarda l'ammettenza, si ha uno zero nell'origine e un polo all'infinito, e lascio a te vedere che cosa questo implica sulla funzione ammettenza.
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[4] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto Utentejhonny » 5 set 2010, 11:51

Ti ringrazio innanzittutto per la risposta.

Allora non sto studiando su alcun libro l'affermazione contenuta nel primo post l'ho estratta da qui

http://www.electroportal.net/vis_resour ... isp&id=259

Le affermazioni contenute nel mio secondo post sono mie elucubrazioni! Ovvero ho disegnato vari circuiti in Sapwin e per ciascuno di essi ho valutato l'ammettenza equivalente e ho notato che si ripresentavano le caratteristiche da me scritte nel secondo post (volevo verificare dunque la correttezza delle mie affermazioni).

A quanto pare leggendo la tua risposta sembrerebbe che il ragionamento torni ovvero:

- Il numero di poli dell'ammettenza è pari al numero di elementi reattivi indipendenti (si è dunque supposto di avere eliminato le serie e i paralleli "banali") diminuito del numero di maglie conteneti il generatore di tensione e soli condensatori. Nel caso sopra riporato 5 sono gli elementi indipendenti e 1 è la maglia di soli condensatori, quindi si hanno 4 poli. Penso che ciò equivalga a dire "ho imposto la tensione su due condensatori, quella del terzo condensatore non e` piu` libera"

- Per quanto riguarda lo zero in zero mi sembra che funzioni anche quanto scritto circa la maglia di induttori.

Ti espongo il mio problema.

Sto facendo la tesi di laurea e per la mia tesi mi serve capire la seguente cosa:

Supponendo di avere un carico (in generale una rete) costituito da soli elementi reattivi, in particolare da un numero di elementi reattivi dispari (quindi o 3 o 5 o 7 etc etc), derivato da una linea monofase mi occorrerebbe sapere che caratteristiche generali deve avere tale circuito affinchè l'ammettenza abbia:

- Numeratore maggiore del denominatore
- Uno zero nell'origine
- Un numero di zeri (compreso lo zero nell'origine) pari a \frac{K+1}{2} dove con K ho indicato il numero di elementi reattivi

Ti ringrazio anticipatamente per eventuali altre tue risposte.
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[5] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 7 set 2010, 10:07

Stai parlando di ammettenza, quindi il bipolo e` eccitato da un generatore di tensione.

Numeratore maggiore del denominatore vuol dire che quando s va a infinito, anche l'ammettenza deve andare a infinito. Vuol dire che fra i due morsetti dell'impedenza c'e` un percorso capacitivo.

Uno zero nell'origine vuol dire che se s tende a zero, anche l'ammettenza tende a zero, non fa passare la continua. Questo si ha se si ha un condensatore in serie a tutto il bipolo.

Hai K elementi reattivi, l'ammettenza va a infinito per s->oo, quindi hai K poli di cui uno all'infinito e un rimanente numero pari di poli al finito. Poli e zeri sono tutti sull'asse immaginario, semplici e alternati (forse, non sono sicurissimo che siano semplici). Comunque hau K-1 poli al finito, dei quali meta` (K-1)/2 sull'asse delle frequenze positive. Contando anche lo zero nell'origine e basandosi sull'alternanza polo/zero, hai automaticamente (K+1)/2 zeri al finito sull'asse delle frequenze positive, zero incluso.
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[6] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto Utentejhonny » 8 set 2010, 12:18

IsidoroKZ ha scritto:Uno zero nell'origine vuol dire che se s tende a zero, anche l'ammettenza tende a zero, non fa passare la continua. Questo si ha se si ha un condensatore in serie a tutto il bipolo.


Ho capito cosa intendi ma se il carico/la rete è derivato/a da una linea monofase (come avevo specificato in precedenza) non posso avere un condesatore in serie al generatore di tensione.O forse intendevi dire un'altra cosa?

IsidoroKZ ha scritto:numeratore maggiore del denominatore vuol dire che quando s va a infinito, anche l'ammettenza deve andare a infinito. Vil dire che fra i due morsetti dell'impedenza c'e` un percorso capacitivo.


Non riesco a capire perché ciò non implica anche che si abbia uno zero nell'origine?
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[7] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 8 set 2010, 16:17

Per avere uno zero dell'ammettenza nell'origine serve un condensatore in serie. Non mi vengono in mente altre possibilita`. Devi avere un circuito che in continua e` un aperto, e questo e` un C in serie.

Puoi avere una ammettenza che va ad infinito all'infinito ma che non ha uno zero nell'origine. Ad esempio nel circuito che hai proposto, se togli C3 hai un polo all'infinito (grado del numeratore maggiore di quello del denominatore) e un polo nell'origine (c'e` un fattore s a denominatore dell'ammettenza).

In pratica, visto che l'immettenza e` solo reattiva, sia in zero che all'infinito puoi solo avere uno zero o un polo (semplici). La funzione in zero o all'infinito non puo` avere un valore finito e non nullo perche' questo implicherebbe una parte resistiva. Questo significa anche che non puoi avere numeratore e denominatore dello stesso grado, e che a num o den devi avere un fattore s*(polinomio). Infine i polinomi hanno solo le potenze dispari oppure pari, perche' le loro soluzioni sono tutte immaginarie pure e coniugate.
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[8] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 8 set 2010, 16:49

Anche se quell'ammettenza è un po' pesante provo a farti vedere come calcolerei i coefficienti del denominatore della stessa usando l'estensione NEET dell' Extra Element Theorem di Middlebrook (un amico di Isidoro :mrgreen: )

Partendo dalla rete iniziale, con n induttori ed m condensatori cercheremo l'ammettenza nella forma

Y(s)=\frac{a_{1}s+a_{2}s^{2}+...+a_{n+m}s^{n+m}}{1+b_{1}s+b_{2}s^{2}+...+b_{n+m}s^{n+m}}

si puo' dimostrare (NEET) che il denominatore sara' del tipo

1+s\left( \sum{\frac{L_{i}}{R_{i}}}+\sum{R_{j}}C_{j} \right)+s^{2}\left( \sum{\sum{\frac{L_{i}L_{j}}{R_{i}R_{j}^{\prime }}}}+\sum{\sum{\frac{L_{i}}{R_{i}}R_{j}^{\prime }}C_{j}+\sum{\sum{R_{i}C_{i}R_{j}^{\prime }C_{j}}}} \right)
+s^{3}.....


e partiremo dal coefficiente della s

e quindi
b_{1}=\sum{\frac{L_{i}}{R_{i}}}+\sum{R}_{j}C_{j}=0


e quindi
b_{2}=\sum{\sum{\frac{L_{i}L_{j}}{R_{i}R_{j}^{\prime}}}}+\sum{\sum{\frac{L_{i}}{R_{i}}R_{j}^{\prime}}C_{j}+\sum{\sum{R_{i}C_{i}R_{j}^{\prime}C_{j}}}}=L_{1}C_{1}+L_{1}C_{2}+L_{2}C_{2}+L_{3}C_{3}


e quindi per nostra fortuna (e vi risparmio la formula simbolica)

b_{3}=0


e quindi

b_{4}=L_{1}L_{2}C_{1}C_{2}+L_{1}L_{2}C_{1}C_{3}+L_{1}L_{2}C_{2}C_{3}

eccoci arrivati al "capolinea" 8-[

e quindi
b_{5}=0

*** The End ***

BTW per il numeratore, basta calcolare il denominatore dell' impedenza sostituendo il generatore di tensione con un generatore di corrente e rifacendo i calcoli ... ma questo compito lo lascio a Isy ! :mrgreen:
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[9] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto Utentejhonny » 8 set 2010, 19:53

Ringrazio entrambi per la risposta!

Dell'extra element theorem mi pare di aver già visto qualcosa "Fast analytical techniques for electrical and electronic circuits" che forse tu stesso mi avevi consigliato tempo addietro! Ti ringrazio per la trattazione rigorosa dato che esempi di calcolo dettagliati non ne avevo mai visti.

IsidoroKZ ha scritto:Per avere uno zero dell'ammettenza nell'origine serve un condensatore in serie. Non mi vengono in mente altre possibilita`. Devi avere un circuito che in continua e` un aperto, e questo e` un C in serie.


In questo caso il condensatore non è in serie al generatore di tensione eppure si ha uno zero nell'origine:
Immagine.JPG
Immagine.JPG (4.88 KiB) Osservato 7065 volte


Concludere dunque che per avere un polo all'infinito un zero nell'origine e numeratore maggiore del denominatore si debba avere:

- Una maglia di condensatori e generatori di tensione. Questo comporta che:
1- il denominatore ha grado uguale al numero di elementi reattivi diminuito di un unità,
2- Il denominatore a grado pari dato che il numero di elemtni reattivi è dispari
3- il numeratore è maggiore del denominatore dato che l'ammettenza deve andare ad infinito per s che tende ad infinito

- Nessuno maglia di induttori e generatori di tensione. Questo comporta che:
1- non si abbia uno polo nell'origine

Il ragionamento che esguo è errato?
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[10] Re: Numero poli e zeri di un ammettenza

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 8 set 2010, 20:03

jhonny ha scritto:Dell'extra element theorem mi pare di aver già visto qualcosa "Fast analytical techniques for electrical and electronic circuits" che forse tu stesso mi avevi consigliato tempo addietro!


Bravissimo, un testo Fast analytical techniques for electrical and electronic circuits
http://books.google.it/books?id=DYgS4nk ... &q&f=false
di Vatché Vorpérian
V.gif
V.gif (17.73 KiB) Osservato 7058 volte

è un testo di riferimento sul Teorema.

Ma la mia analisi partiva da un esercizio personale di applicazione dell' n-EET; vedi per esempio
[1] http://ecee.colorado.edu/~ecen5807/cour ... l/nEET.pdf

Ma non dimentichiamo la documentazione disponibile sul sito di Middlebrook :wink:
[2] http://www.rdmiddlebrook.com/D_OA_Rules&Tools/index.asp
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