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metodo delle immagini magnetiche

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] metodo delle immagini magnetiche

Messaggioda Foto Utentenico1504 » 26 giu 2011, 20:30

Salve, qualcuno sa dirmi come funziona il metodo delle immagini in magnetostatica?
Mi spiego meglio..ho un conduttore con corrente I a distanza d da un mezzo a permeabilità magnetica infinita. Conosco il metodo delle cariche immagini in elettrostatica (con mezzo perfetto conmduttore) dove le condizioni imposte per creare il metodo sono : (1)l'ortognalità del campo elettrico all'interfaccia e (2) la costanza (ad esempio a zero) del potenziale elettrostatico. In tal caso, dalle condizioni di interfaccia ho (1) l'ortogonalità dell'induzione magnetica (B), che essendo solenoidale si richiude nel mezzo a permeabilità infinita (un po' come l'induzione dal traferro allo statore di una macchina elettrica nelle ipotesi di permeabilità del ferro infinita), con il suo flusso (BS). Viceversa, proprio dalla permeabilità infinita del mezzo, avrò campo magnetico (H) nullo in esso (non sarà solenoidale data la non omogeneità dei due mezzi ed essendo la legge di Maxwell enunciata per B d'altronde). Da questo ricavo altre condizioni, ad esempio sul potenziale vettore magnetico, in analogia al caso elettrostatico?
Nel caso elettrostatico si mette una carica si segno opposto alla stessa distanza nel dominio immagine, ora metto una corrente come?
Vi ringrazio per ogni delucidazione in merito,
Nico
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[2] Re: metodo delle immagini magnetiche

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 giu 2011, 9:00

Il metodo delle immagini in magnetostatica permette in sostanza di andare a calcolare, in situazioni di geometrie particolarmente semplici, il campo magnetico in uno spazio dove siano presenti correnti libere e diversi sottoregioni con caratteristiche magnetiche differenti, andando a sostituire questa discontinuita' magnetica con correnti libere virtuali che diano un contributo equivalente.

Il discorso e' estremamente complesso, ma come dicevo risulta affrontabile per geometrie ad alta simmetria quale potrebbe essere quella relativa ad un conduttore percorso da una corrente I parallelo ad un piano p di separazione fra due sottospazi di diversa permeabilita' u1 e u2.

In questo caso, come sappiamo la configurazione del campo magnetico e' complessa (vedi fig.1) ma per il calcolo del campo in un punto Q del semipiano superiore, il metodo delle immagini permette di eliminare la discontinuita' con una corrente fittizia posizionata simmetricamente al piano p di valore aI con 0<a<1; in questo modo potremo applicare la sovrapposizione degli effetti in questo spazio a caratteristica magnetica uniforme u1, semplicemente sommando vettorialmente il contibuto delle due correnti H=H1+H2 (fig.2)



ma non solo, infatti potremo usare una seconda corrente fittizia per rappresentare anche il campo all'interno del secondo semispazio ovvero, supponendo una corrente bI che sostituisca la corrente libera I, avremo che il calcolo del campo nel punto Q sara' relativo a detta corrente nello spazio a caratteristica magnetica uniforme u2 (fig.3).



Supponendo ora di trovarci in regime stazionario e di non avere altre correnti libere oltre a I, come ben sai, sulla superficie di separazione p, per la circuitazione del campo magnetico (Ampere-Maxwell) non ci potra' essere discontinuita' nella componente tangenziale Ht del campo magnetico e per il flusso dell'induzione (Gauss magnetico) non potra' esserci discontinuita' nella componente normale dell'induzione Bn e di conseguenza associando cio' a quanto in precedenza affermato, potremo scrivere le due relazioni che ci permettono di calcolare questi "fantomatici" coefficienti a e b

\left\{ \begin{align}
  & H_{t}-aH_{t}=bH_{t} \\ 
 & \mu _{1}H_{n}+a\mu _{1}H_{n}=b\mu _{2}H_{n} \\ 
\end{align} \right.

dalle quali

\left\{ \begin{align}
  & 1-a=b \\ 
 & \mu _{1}+a\mu _{1}=b\mu _{2} \\ 
\end{align} \right.

e quindi

a=\frac{\mu _{2}-\mu _{1}}{\mu _{2}+\mu _{1}},\quad b=\frac{2\mu _{1}}{\mu _{2}+\mu _{1}}

con

0\le a\le 1,\quad 0\le b\le 1

Questa e' la teoria, poi la pratica e' come al solito piu' complessa per due ragioni fondamentali che rendono il metodo delle immagini "poco praticabile" ovvero, la non linearita' del comportamento dei materiali ferromagnetici e la netta distinzione fra la permeabilita' relativa degli stessi e quella di tutti gli altri materiali para e diamagnetici.
In buona sostanza i diversi ordini di grandezza (diciamo 3) che separano le permeabilita' relative di salami Nutella birra e tacchino da quelle del ferro e parenti rende questo discorso ingegneristicamente poco utile; e' per questa ragione che alla fine della fiera, su molti testi si preferisce considerare infinita la permeabilita' u2 e quindi

\mu _{2}\to \infty \quad a\to 1\quad b\to 0

in questa situazione la legge della rifrazione porta ad avere un angolo di ingresso sul piano p prossimo ai 90°, e quindi porta ad una componente nulla per il campo trasversale Ht e ad una sola componente normale per l'induzione B.

... Mi riservo di aggiungere entro sera una simulazione agli elementi finiti (con FEMM ovviamente) che fara' vedere qual'e' l'unico modo serio di "trattare" questi problemi nella realta' .

NB nelle figure le correnti le ho segnate con un punto per comodita' grafica, ma sono da considerarsi tutte "entranti" !

... work in progress ...
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[3] Re: metodo delle immagini magnetiche

Messaggioda Foto Utentenico1504 » 27 giu 2011, 9:10

ok..la fig.1 rappresenta le linee di campo B vero? (H nel materiale a permeabilità infinità immagino sia nullo)
Mi sembra di capire che si sfrutti l'ortogonalità di B al piano p per creare il sistema immagine..la corrente immagine chiamata a*I alla fine non sarà I (a=1) ?
grazie davvero intanto per la risposta..è un argomento che si trova poco nei libri questo in magnetostatica ;-)
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[4] Re: metodo delle immagini magnetiche

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 27 giu 2011, 9:24

nico1504 ha scritto:ok..la fig.1 rappresenta le linee di campo B vero?

B e' l'induzione magnetica NON il campo!

nico1504 ha scritto:(H nel materiale a permeabilità infinità immagino sia nullo)

No non sto considerano permeabilita' infinita, sto facendo un discorso piu' generale che poi particolarizzero' ;-)
nico1504 ha scritto:Mi sembra di capire che si sfrutti l'ortogonalità di B al piano p per creare il sistema immagine..la corrente immagine chiamata a*I alla fine non sarà I (a=1) ?

No non suppongo l'ortogonalita' ma una rifrazione megnetica piu' generale; se hai un po' di pazienza completo il post .
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[5] Re: metodo delle immagini magnetiche

Messaggioda Foto Utentenico1504 » 27 giu 2011, 10:18

scusami..pensavo avessi completato il post ;-)
mi sembra tutto esatto, infatti con piano a permeabilità infinita si ottiene a=1 e b=0, non avendo campo magnetico H in mezzo 2 e si sfrutta la rifrazione (in tal caso ortogonalità) magnetica. ;-)
B nel mezzo 1 sarà u1*H, con andamento (supponiamo l'isotropia del mezzo) parallelo a B, quindi le linee di induzione B (che sono spesso dette linee di flusso o talvolta di campo, errando) coincidono con le linee di H.
B nel mezzo 2 sarà u2*H, che tuttavia nel caso di u2=Inf, sarà un prodotto Inf*0, che dà un risultato finito, come dalla solenodaleità di B (per cui l'unico modo per avere B credo rimanga il teorema di Gauss per un tubo di flusso). Di conseguenza le linee di H non ci saranno nel mezzo 2 (non è H solenoidale ma B), mentre ci saranno le linee di B,appunto come da fig.1.
Grazie per la collaborazione e spero che i fem confermino la teoria :D
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