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valore assoluto

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[1] valore assoluto

Messaggioda Foto Utentepalliit » 11 dic 2011, 20:14

Salve a tutti, scusate, ho un dubbio di carattere prettamente teorico: la funzione valore assoluto (in R), |x|, è da considerare algebrica? E di che grado? Tenderei a dire di sì, e che siccome potrei esprimerla come √x² è ragionevole che sia di secondo, come peraltro suggerisce il grafico… Ho cercato qua e là ma non ho trovato soddisfazione, tutti i testi che ho consultato (persino il leggendario Geymonat di Analisi I) sono sfuggenti sull'argomanto... qualcuno ha informazioni oggettive in proposito? Grazie, Palliit
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[2] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentepalliit » 11 dic 2011, 20:15

(Ovviamente intendevo dire che i testi sono sfuggenti sull'argomEnto...)
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[3] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 11 dic 2011, 23:20

Secondo me non e` una funzione algebrica, non e` rappresentabile in termini di polinomi.

La definizione con la radice quadrata una una restrizione di una funzione polidroma.
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[4] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentealev » 11 dic 2011, 23:47

Questo è il grafico cartesiano della funzione y = \left | x \right |



Da un certo punto di vista, poiché ad un valore di y corrispondono 2 valori di x, si potrebbe essere portati a pensare che sia di 2° grado; in realtà la funzione in questione non è algebrica per le ragioni già esposte da Foto UtenteIsidoroKZ.
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[5] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentepalliit » 12 dic 2011, 9:20

IsidoroKZ ha scritto:Secondo me non e` una funzione algebrica, non e` rappresentabile in termini di polinomi.

La definizione con la radice quadrata una una restrizione di una funzione polidroma.


Però l'equazione: y² - x²=0, con y≥0, è polinomiale ed è equivalente a y=|x|. E in generale qualunque equazione contenga un numero finito di moduli si può rendere polinomiale con un numero opportuno di elevamenti al quadrato, esattamente come nel caso di funzioni irrazionali (algebriche)
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[6] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentealev » 12 dic 2011, 10:40

palliit ha scritto:Però l'equazione: y² - x²=0, con y≥0, è polinomiale ed è equivalente a y=|x|

:-M non sono d'accordo; potresti scrivere l'applicazione (in LaTex) del principio che giustifica la tua affermazione?
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[7] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 12 dic 2011, 12:03

y = |x| è una funzione ottenuta dalla restrizione della relazione y^2-x^2 = 0 a y\ge 0. Non vorrei sbagliarmi, ma credo proprio che |x| sia una funzione algebrica.
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[8] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentealev » 12 dic 2011, 12:13

Però non è ottenibile usando le 4 operazioni e l'elevazione a potenza (intera o fratta) di un numero finito di monomi.

Tuttavia, neppure io sono sicurissimo di quanto ho affermato :roll:
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[9] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 12 dic 2011, 13:54

Credo di aver capito dove sta l'inghippo. La definizione di funzione algebrica, che si può trovare qui, richiede che y = f(x) soddisfi a una equazione del tipo F(y,x) = 0 dove F è un polinomio irriducibile. Poiché

y^2-x^2 = (y-x)(y+x)

si ha che y^2-x^2 è un polinomio riducibile e quindi y=|x| non è una funzione algebrica.
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[10] Re: valore assoluto

Messaggioda Foto Utentepalliit » 12 dic 2011, 16:31

Se è così è tristissimo.
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