ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **tigerjack89** » 15 dic 2012, 17:00

Ciao a tutti ragazzi!!
Sto risolvendo un circuito RLC del secondo ordine ma mi sono bloccato negli ultimi passaggi.
Praticamente, il circuito è a regime stazionario fino all'istante 0, dopodichè il generatore si spegne e quindi va in evoluzione libera. Dovevo ricavare quindi l'andamento della corrente sull'induttore.

Dopo vari passaggi, eccola qui:
$K_{1}e^{\lambda_{1}t} + K_{2}e^{\lambda_{2}t}$ .
In cui $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ le ho ricavate e K1 e K2, invece, devo ricavarmele imponendo le condizioni iniziali.

Mi sono quindi calcolato i valori delle condizioni di stato per t<0, ottenendo, per la continuità delle variabili di stato su induttore e condensatore,
$V_{C}(0^{-})=V_{C}(0^{+}) = V_0$
$I_{L}(0^{-})= I_{L}(0^{+}) = I_0$
ovvero due valori numerici.

Per ricavarmi quindi i valori di K1 e K2, la prima condizione da imporre è:
$I_{L}(0^{+})= K_{1} + K_{2} = I_{0}$

Ho bisogno perciò di imporre un'altra condizione per trovarmi questi valori.
Di solito, il metodo che utilizzo è trovare la derivata prima della $I_{L}(t)$ in t=0, per poi imporre le altre condizioni. Qualcosa del tipo $\frac{\partial I_{L}(t = 0^{+})}{\partial x} = A$
in modo da imporre
$\frac{\partial I_{L}(t = 0^{+})}{\partial x} = K_{1}\lambda_{1}+ K_{2}\lambda_{2}} = A$
e risolvere quindi il sistema di n equazioni in n incognite.

Il problema è che non riesco a calcolarmi questo valore della derivata prima della corrente sull'induttore.
Il circuito a t>0 è questo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

di cui conosco R1, R2, R3, L, C e le condizioni iniziali.
Dall'equazione caratteristica dell'induttore avremo che $\frac{\partial I_{L}(t)}{\partial x} = \frac{V_{L}}{L}$ .
Il problema, quindi, è calcolare il valore numerico di V_L , tramite leggi di Kirchhoff e quant altro. Il problema è che non riesco a sviluppare V_L solo in funzione di tutti i valori noti che ho :S

Qualche idea???
Grazie mille in anticipo a tutti :)

EDIT: scelta un po' infelice per scrivere le derivate, quello che voglio intendere con quelle formule è la derivata della funzione nel punto t = 0 e non la derivata di f(0) che, ovviamente, sarebbe nulla :)

da **RenzoDF** » 15 dic 2012, 19:10

Se hai già usato il "circuito resistivo associato" saprai che, sostituendo il condensatore e l'induttore con un GIT e un GIC virtuali, puoi ottenere risposta alla tua domanda ricavando una pseudo-equazione di stato

per esempio sovrapponendo

${{v}_{L}}=-{{i}_{L}}{{R}_{3}}||({{R}_{1}}+{{R}_{2}})+{{v}_{C}}\frac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}+{{R}_{3}}}$

ma alternativamente anche usando Millman

${{v}_{L}}=\frac{\frac{{{v}_{C}}}{{{R}_{3}}}-{{i}_{L}}}{\frac{1}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}+\frac{1}{{{R}_{3}}}}$

o un qualsiasi altro metodo risolutivo.

da **tigerjack89** » 15 dic 2012, 19:16

stavo provando proprio ora e mi sa che è l'unico modo di procedere :)
Grazie mille per la risposta!!

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Derivata prima della corrente sull'induttore a t=0

[1] Derivata prima della corrente sull'induttore a t=0

[2] Re: Derivata prima della corrente sull'induttore a t=0

[3] Re: Derivata prima della corrente sull'induttore a t=0

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