ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **tony38** » 23 dic 2012, 22:47

Signori buona sera,
vorrei mi chiariste questo dubbio : 0^infinito è una forma indeterminata?
Gradirei anche, se possibile, avere la dimostrazione.
Approfitto dell'occasione per porgere i miei più cordiali Auguri a tutti gli Amici del Forum. Grazie
Antonio

da **JAndrea** » 23 dic 2012, 23:09

Secondo il mio punto di vista questa non è una forma indeterminata, perché 0^infinito, secondo il mio ragionamento dà 0.
Attendiamo comunque il parere di qualcun' altro.

da **tony38** » 23 dic 2012, 23:35

OK grazie Andrea.
Antonio

da **JAndrea** » 23 dic 2012, 23:41

Comunque, come ti ho detto, aspetta qualche altro parere, perché non ne ho la certezza. Ripensandoci poi il limite dovrebbe fare 0 se l' infinito è positivo, altrimenti infinito.

da **matteoDL** » 24 dic 2012, 0:14

Se $0 \cdot \infty&=0$ tutta la matematica basata sul calcolo infinitesimale non esisterebbe!!
La dimostrazione rigorosa non la conosco ma la storiella del bastone è riuscita a convincermi a suo tempo:
prendi un bastone lungo diciamo 2m $(2\cdot1)$ . Dividilo a metà e ottieni due pezzi lunghi 1m $(1\cdot2)$ . Ancora a metà ogni pezzo e ottieni 4 pezzi lunghi 50cm $(0,5\cdot4)$ . Ora vai avanti così all'infinito, in teoria otteresti infiniti pezzi lunghi 0m $(0\cdot \infty)$ .
Ma la stessa cosa vale se partiamo da un bastone lungo 5m, 10m, 5cm, 3nm... quindi possiamo dire che partendo dalla fine, cioè dagli infiniti pezzi lunghi 0, non possiamo dire a priori qual è la lunghezza di tutti i pezzi sommati, cioè in matematica quello che si dice forma indeterminata.

da **Pioz** » 24 dic 2012, 0:23

Ciao

matteoDL. Credo che il caso proposto fosse:
$0^{\pm \propto }$
Se si usasse latex per scrivere le formule questi dubbi sarebbero inesistenti!!!
O_/

da **matteoDL** » 24 dic 2012, 0:26

Ops hai ragione

Pioz ho letto male il post.
Allora mi appoggio anch'io a dire che $0^\infty&=0$

da **DirtyDeeds** » 24 dic 2012, 0:46

Infinito ( $\infty$ ) non è un numero reale (anche se si può definire una retta reale estesa, v. qui), quindi la scrittura $0^\infty$ non definisce nessuna operazione in $\mathbb{R}$ .

Così, bisogna ricordarsi che, per esempio, la scrittura

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = +\infty$

è solo una abbreviazione per

"per ogni a>0

esiste $\delta >0$ tale che f(x)>a

per $0<|x-x_0|<\delta$ "

e che la scrittura

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$

è solo un'abbreviazione per

"per ogni a>0

esiste $\delta >0$ tale che |f(x)|>a

per $0<|x-x_0|<\delta$ ".

Si dice allora che si ha una forma $0^\infty$ quando si ha un limite del tipo

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)^{g(x)}$

con f(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$ e g(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = +\infty$ .

Questa, però, NON è una forma indeterminata perché tale limite fa zero. La forma indeterminata è $\infty^0$ , ovvero un limite del tipo

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)^{g(x)}$

con f(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$ e g(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$ .

Edit: è tardi e avevo scritto qualche cavolata, ora corretta.

da **tony38** » 24 dic 2012, 1:25

OK Signori, grazie a tutti per la grande disponibilità sempre pronta ed auguro la buona notte.
Antonio

da **tony38** » 24 dic 2012, 1:32

Chiedo scusa se riprendo, ma mi sento in dovere di fare presente che ho molto gradito le esaurienti spiegazioni con relative dimostrazioni. Grazie
Antonio

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Limiti indeterminati

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