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da **carlomariamanenti** » 4 gen 2013, 9:43

Scrivete un intero naturale (non nullo) in ciascuna delle caselle bianche in modo che la loro somma sia la più piccola possibile.
Attenzione, però, alle seguenti regole. Il numero della casella a deve essere minore di quello della casella b il quale, a sua volta, deve essere minore di quello della casella c.
Ciascuna casella colorata nasconde la somma dei numeri delle due caselle bianche con le quali è direttamente connessa da un arco di circonferenza e questa somma deve essere un quadrato perfetto.

: quadraturadelcerchio.JPG (12.65 KiB) Osservato 5206 volte

da **asdf** » 4 gen 2013, 10:57

Se i 3 numeri a b e c devono essere tali che la somma di

e

,

e

diano luogo a dei quadrati perfetti rispettivamente, si dovrebbe avere :

a+b=Q_1^2

a, b e c devono essere i più piccoli possibile e quindi deve essere la più piccola possibile anche la loro somma a + b + c che, se si va a considerare il sistema sopra sommando tra loro i primi membri ed tra loro i secondi membri delle equazioni, sarà pari a

a+b+c=(Q_1^2+Q_2^2+Q_3^3)/2

.

Se nell'equazione scritta prima di volta in volta si sostituiscono i valori di a b e c ricavati dalle equazioni in blu scritte sopra si ottengono i valori a b e c scritti in funzione dei quadrati perfetti Q_1

e

.

Cioè :

(1)

(2)

(3)

Dato che deve essere a<b<c

, si ricava dalle relazioni sopra che x<z<y

.

E dato che si deve avere che i tre numeri devono essere interi naturali non nulli quindi tutti e tre positivi occorre che in primis si abbia a>0

, da cui è ovvio che poi anche

e

lo saranno.

Da a>0

si ricava che x^2+z^2>y^2

(4).

Da qui in poi credo che si debbano fare delle prove.
Ad esempio si può partire da (x,z,y) = (1,2,3)

, poi

, etc etc, finoa quando non capita quella giusta, almeno credo.

Prima si verifica che sia valida la relazione (4).

Se non è valida si passa ad un'altra terna.

Se è valida, per ogni terna si ricavano i valori di a,b e c mediante le relazioni (1), (2) e (3) scritte sopra e poi si verifica che siano positivi non nulli e interi e che si abbia che a<b<c.

da **asdf** » 4 gen 2013, 12:21

Ho fatto anche le prove.
Le terne (x,z,y) così fatte (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6) non vanno bene, perché non verificano le condizioni del post sopra.

La terna (x,z,y) = (5,6,7) andrebbe bene in quanto da essa si ottiene :

c= 30