Teorema di unicità esterno nel dominio del tempo

[deltax]

salve, sono uno studente di ingegneria elettronica, magistrale, alle prese con campi elettromagnetici 2. Il mio libro di riferimento è il franceschetti.
Studiando il teorema di unicità, nel caso esterno per il dominio del tempo, il libro riporta più o meno questa frase :
il campo e (e1-e2) è nullo se spostiamo la superficie all'infinito in quanto la velocità di propagazione è finita e quindi il campo all'infinito è sicuramente nullo.

Perciò all'inifnito e=0, e1=e2 e si è dimsotrato per assurdo che la soluzione è unica.

Ora, benchè la frase sia semplice di comprensione, non sono pienamento soddisfatto della spiegazione..è realmente cosi semplice? Ho paura che, con una spiegazione cosi all'esame, il prof sia quantomeno perplesso come lo sono io ora....mi confermate che in effetti non c'è altro da aggiungere, oppure la spiegazione sul libro è omessa e c'è qualche altra considerazione da fare?

[DrCox]

Partiamo con il presupposto che tu abbia ben capito il teorema di unicità nel dominio del tempo per quanto riguarda il problema interno.

Per quanto riguarda il problema esterno (in cui il volume V si estende ad infinito) ciò che cambia rispetto al problema interno è il fatto che non puoi definire l'ipotesi che riguarda le componenti tangenti del campo sul contorno del volkume di definizione (per V esteso ad infinito non ha nemmeno senso, infatti, parlare di una superficie che racchiude il volume).
Nel problema interno si è fatto uso della superficie S per affermare che il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie S era nullo.
Il problema esterno può ora essere pensato come il caso limite di una successione di problemi interni nei quali la superficie che racchiude il volume di definizione del campo è una sfera di raggio r che tende all'infinito. Calcolando il flusso del vettore di Poynting in questa successione di casi, ti ritrovi a dover affrontare un problema nel quale l'integrale è esteso ad una superficie che diverge con il quadrato del raggio e se si vuole essere certi che al tendere di vi sia un flusso del vettore di Poynting comunque nullo, è necessario che risulti


Occorre tuttavia notare che per come si è deciso di interpretare il problema esterno, il campo elettromagnetico che è presente sulla superficie sferica che diverge può essere pensato come il campo irradiato a grande distanza da un opportuno insieme di sorgenti (indipendentemente da come queste sono fatte, iil campo elettrico e quello magnetico tendono a diventare l'uno proporzionale all'altro e a disporsi in modo da formare una terna trirettangola con il versore radiale di un sistema di coordinate sferiche centrato nelle sorgenti stesse).

La relazione sopra presentata dunque si traduce nelle condizioni di radiazione di Sommerfeld:



condizioni che dunque vanno a sostituire le ipotesi sulle componenti tangenti del problema interno.

[deltax]

Grazie per la risposta.
Bhè, il tuo ragionamento l'ho capito ma mi ha portato un po' di confusione.
Infatti, il mio prof negli appunti scrive ugualmente le condizioni al contorno sulla superficie S , come ipotesi del th. di equivalenza, anche se poi usa una superficie S2 che fa tendere all'infinito.
Inoltre le condizioni di radiazione all'infinito che ci ha dato (presenti anche nel libro franceschetti) sono le seguenti



e



Ora, dalla mia trattazione, piuttosto incompleta, deduco alcune similitudini e collegamenti con quella che hai fatto tu, che ora espongo e ti chiedo di verificare se sono corretti.

Facendo lo stesso ragionamento che fai tu, suppongo che in campo lontano E,H e il versore radiale siano una terna levogira, facendo quindi un approssimazione ad un onda piana; valuto poi il flusso del vettore di Pointing sulla superficie S, e sostituendo ad esso la condizione di radiazione scritta prima ottengo un eespressione sicuramente positiva. Il fatto che tale funzione è positiva mi dice che il flusso del vettore di Pointing è uscente, e rappresenta una perdita di potenza.
Adesso la mia trattazione si ferma qui, ma è sbagliato dedurre che tale perdita mi porti a dire che, al limite, il campo deve essere necessariamente nullo visto che tale perdite sulla superficie, la cui distanza è appunto l'infinito, andrà ad annullare il campo all'infinito?

[deltax]

up, please

[IsidoroKZ]

Gli up non sono graditi. Le risposte non sono obbligatorie, sono date se uno sa e ha il tempo/voglia di rispondere.

Al piu` se vuoi fare un up elegante, aggiungi qualche altra informazione, racconta come sei andato avanti nella comprensione...

[deltax]

scusami...gli up in altri forum sono consentiti. Non ripeterò l'errore. Non comunque in incitamento a rispondere, solo per dare più visibilità (in alcuni forum è consentito).

In ogni caso, non sono andato avanti con la comprensione ho provato a cercare altri libri, in particolare il jackson e lechner, ma non trattano il teorema di unicità, essendo libri più vicina alle facoltà di fisica.

Al massimo se qualcuno ha qualche altro libro da consigliarmi di campi EM per l'ingegneria, sarebbe gradito.

Se arrivo a qualche conclusione lo scrivo, per conferma, anche se il post di Drcox, benchè abbia trovato congruenza con alcune mie considerazioni precedenti, mi ha messo un po' di confusione, più di quanta già ne avessi

[DrCox]

il post di Drcox, benchè abbia trovato congruenza con alcune mie considerazioni precedenti, mi ha messo un po' di confusione, più di quanta già ne avessi

Cosa di preciso ti turba?

il mio prof negli appunti scrive [...] come ipotesi del th. di equivalenza

Ma non stavamo parlando del teorema di unicità? perché parli del teorema di equivalenza? Mi sto confondendo

valuto poi il flusso del vettore di Pointing sulla superficie S, e sostituendo ad esso la condizione di radiazione scritta prima ottengo un eespressione sicuramente positiva. Il fatto che tale funzione è positiva mi dice che il flusso del vettore di Pointing è uscente, e rappresenta una perdita di potenza.

Toglimi una curiosità, esponimi per intero il teorma di unicità "interno" per come lo conosci tu.

[deltax]

Ciao. Allora per quanto riguarda dove ho scritto th. di equivalenza, mi sono semplicemente confuso volevo scrivere th. di unicità (mi sono confuso perché poco prima di scrivere il post stavo studiando il th. di equivalenza ).

Ora ti espongono il th. di unicità interno nel dominio del tempo per come lo conosco io, vediamo se riusciamo a trovare un punto di convergenza.

Allora la dimostrazione è per assurdo : supponiamo di avere due campi soluzione dell'eq. di Maxwell, (E1,H1,J1) ed (E2,H2,J2). Ovviamente per essere soluzione del problema per come è definito dalle ipotesi, i campi avranno uguale condizione iniziale, uguale condizione al contorno e uguale sorgenti.
Adesso, siccome i campi sono soluzione, anche una combinazione dei campi sarà soluzione. Per cui indico E0=E1-E2, H0=H1-H2 e J0=J1-J2; il campo (E0,H0,J0) sarà ancora soluzione del problema.
Noto subito che J1=J2, quindi J0=0.
Allora scrivo l'eq. del th. di Pointing :

integrale su V della divergenza del vettore di Pointg + integrale su V della derivata temporale dell'energia elettromagnetica + integrale su V delle perdite per effetto joule = - integrale su V di E0*J0.
Ma J0=0, quindi tutto il secondo membro è 0.
Uso il th. di Gauss e riscrivo l'integrale su V della divergenza del vettore di pointing come la circuitazione del vettore di Pointing; con le ipotesi che i campi tangenti di E1 e E2 siano uguali, e facendo alcuni passaggi col vettore di pointing, alla fine questo termine è nullo.
Allora alla fine rimane :
integrale della variazione temporale dell'energia elettromagnetica = MENO integrale su V delle perdite per effetto joule ( sigma*modulo quadro di E0).
Siccome sigma è >0, modulo quadro di E0 è >=0, la variazione di energia per definizione è >=0, ma c'è il MENO davanti, l'unica possibilità per far tornare i cotni è che E0=0, ovvero E1=E2, dimostrato.

Se non hai capito te lo scrivo a formule ma ci metto una vita.

Grazie

[DrCox]

Ok, fin qua ci siamo (la prossima volta formule in LaTex).
Ora, quale ragionamento ti permette di dire che il flusso del vettore di Poynting è nullo?
Spero sarai d'accordo se ti dico che, essendo

per la presenza del prodotto interno per il versore che è ortogonale alla superficie S, le uniche componenti di campo che contano sono quelle tangenti ad S. Ma per l'ipotesi che una di esse (componente tangente di campo elettrico o magnetico) sia nulla, il flusso del vettore di Poynting non darà contributo al bilancio di potenze espresso dal teorema.
Concordi?
E' questo ragionamento che deve essere in qualche modo "replicato" nel caso della superficie che tende ad infinito..

Non hai infine risposto alla prima domanda che ti ho fatto:

il post di Drcox, benchè abbia trovato congruenza con alcune mie considerazioni precedenti, mi ha messo un po' di confusione, più di quanta già ne avessi

Cosa di preciso ti turba?

[deltax]

mi turba che la condizione di Sommerfiled tu la imponi uguale a 0, mentre sui miei appunti (e d'altronde anche sul libro Franceschetti) quella condizione è minore di una costante c arbitraria.

Inoltre avevo già capito, dal tuo primo post, che le condizioni di sommerfiled vanno a sostituire la condizione al contorno che annulla il vettore di Pointing, ma non riuscivo a capire in effetti perché le nostre formule della condizione di sommerfield erano diverse e perché non usi la seconda condizione si sommerfiled (quella del prodotto vettoriale tra campo elettrico e magnetico).

Tanto per capirci, il mio prof ha usato non una dimostrazione ma un accenno di dimostrazione in cui prendere una superficie S, una seconda superficie S2 a cui fa tendere il raggio r a +inf; dopodichè fa un qualche tipo di ragionamento con il tempo che impiega il campo ad arrivare sulla superficie S2, e da qui deduce che sulla superficie S2 il campo è nullo. Non ho capito quest'ultimo passaggio