Problema con mutua induttanza

[stdio93]

Salve a tutti, ho un problema con la risoluzione di un circuito contenente una mutua induttanza. Nello specifico nel circuito (illustrato nella figura qua sotto) si richiedeva di calcolare la tensione ai capi della resistenza, considerando la mutua induttanza presente tra L2 ed L3.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

P.S. Non sapevo come inserirli nel disegno, ma per quanto riguarda i puntini, essi sono: su L2 in alto e su L3 in basso.
Per completezza aggiungo i dati:
V0=100v, w=10^4 rad/s, L1=1mH, L2=L3=3mH, M=2mH, R=100 ohm (M è la mutua induttanza)
Ovviamente da subito sono passato nel dominio dei fasori e ho pensato di calcolare le correnti di modo da avere la I corrispondente alla corrente che passa su R, per calcolare poi la tensione U come , ma mi sono bloccato nel considerare la mutua induttanza. Come faccio?

[rusty]

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

[RenzoDF]

... Come faccio?

Per esempio puoi risolvere scrivendo un sistema in 4 equazioni e 4 incognite, ottenuto dalle 2 equazioni costitutive, da una KCL ad uno dei due nodi e da una KVL all'anello sinistro; la KVL all'anello destro la usi solo per affermare che V2=-V3 (assunti positivi, per dette tensioni, i morsetti contassegnati dai "pallini")

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ti consiglio di scegliere anche per le correnti in L2 e L3 i versi entranti nei morsetti corrispondenti (nei "pallini"), in questo modo sarà più facile scrivere le due equazioni del mutuo induttore.

[stdio93]

perché io in origine avevo pensato di applicare le leggi di Kirchhoff ad entrambi gli anelli, solamente non sapevo come vedere la mutua induttanza, ovvero come tenerne conto nella stesura delle due equazioni. Ne devo tener conto solo nella prima o solo nella seconda? o in entrambe? Oppure viene solamente un gran casino applicando il mio metodo? Grazie

[RenzoDF]

... perché io in origine avevo pensato di applicare le leggi di Kirchhoff ad entrambi gli anelli...

Certo, ci sono diverse metodologie applicabili in presenza di un mutuo induttore, ma io normalmente procedo in questo modo:

a) considero il mutuo induttore come un doppio bipolo e scelgo, convenzionalmente, come già detto, il positivo delle tensioni sui morsetti corrispondenti (pallini) così pure come le correnti, entranti negli stessi; in questo modo avrò come variabili "esterne" al blocco, V2 e I2 alla prima porta e V3 e I3 alla seconda, che saranno legate dalle due seguenti relazioni costitutive



b) a questo punto scrivo le equazioni di Kirchhoff che, per la rete in oggetto, saranno (per esempio) le due KVL ai due anelli e la KCL ad uno dei due nodi



c) combinando insieme le prime due e le seconde tre, ottengo un sistema a 5 equazioni e 5 incognite che, vista la semplice relazione fra V2 e V3,si ridurrà istantaneamente ad un 4 equazioni 4 incognite e potrà essere facilmente risolto.

[rusty]

Se non ho fatto errori, risolvi questo usando Cramer (ad esempio).

[stdio93]

Grazie per la dritta! :) Una domanda ora magari anche un po' fuori luogo: se devo considerare una mutua induttanza data da due bobine in un'analisi agli anelli (un po' anche come in questo caso...), la devo considerare in entrambe le maglie o in una sola? Come?