Dimostrazione Teorema di Weierstrass

[Ianero]

Qualche problemino nella dimostrazione di questo teorema:

Sia una funzione continua, allora assume massimo e minimo assoluti nell'intervallo .

Inizio piano piano come propone il libro...

Posto esiste una successione di punti di tale che:

Fin qui va bene...

Se M=, allora e quindi

Ci sono anche qui...

Poi continua dicendo:

Se , allora

Non ho capito da dove esce quell'.

Qualcuno mi aiuta per favore?

[Lello88]

Ciao Ianero, provo a rispondere alla tua domanda.
Partiamo nel considerare una successione, di numeri reali e limitata {an}, e come tale ha un limite superiore finito, il nostro M. Con l'ultimo passaggio

Se , allora

l'idea è quella di costruire un'estratta che converga proprio a questo M.
Quell' 1/n rappresenta nient'altro che un piccolo numero a piacere, in modo da ottenere una successione di numeri, che convergendo ad un limite M, siano via via più vicini. Cioè più cresce l'indice n più gli An sono vicini a M. Ciò viene anche definito come la distanza tra M e An che si riduce sempre di più. La distanza tra M e An è |An - M|, può aiutare l'idea se si immagina a dei numeri reali disposti su una retta e la distanza tra due numeri è minore quanto più piccola è la loro differenza.

[Ianero]

È semplicemente un numero a piacere.. Grazie