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Problema cn trasformata di Laplace

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utenteelettronepazzo » 15 nov 2013, 21:15

Salve,vorrei se possibile qualche aiuto su un dubbio relativo alla trasformata di Laplace.In particolare se ho un semplice bipolo RC come in figura

e voglio trovare il segnale di ingresso che rende infinita tale impedenza allora ho che l'ammettenza del bipolo nel dominio trasformato è
Y(s)=\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{sRC+1}{R}
se il segnale di ingresso è un esponenziale V(t)=Ve^{-\sigma t}
allora V(s)=\frac{V}{s+\sigma }
quindi se \sigma =\frac{1}{RC}

allora I(s)=\frac{sRC+1}{R}\frac{V}{s+\frac{1}{RC}}=CV
quindi antitrasformando i(t)=CV\delta (t)

quello che non capisco (ammesso che il procedimensto sia corretto..ma penso di si) è come mai la corrente trasformata viene CV quindi dimensionalmente una carica e non una corrente.Qualcuno sa darmi una mano? Grazie
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[2] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentemarioursino » 15 nov 2013, 21:57

Hai considerato che stai imponendo una tensione discontinua (in t = 0) ai capi di C?
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[3] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utenteelettronepazzo » 16 nov 2013, 0:11

Il fatto che che ci sia una tensione discontinua implica una corrente trasformata pari a CV?non capisco..
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[4] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentemarioursino » 16 nov 2013, 10:07

Allora, con un segnale di tensione ai capi dell'impedenza R//C, avrai una corrente (nel dominio di Laplace) pari a

I(s)=V(s)\frac{sRC+1}{R}

e ponendo v(t)=\bar{V}e^{-\sigma t} la corrente diventa

I(s)=\frac{\bar{V}}{s+\sigma} \frac{sRC+1}{R}

Se la tensione che imponi ai capi del parallelo è un'esponenziale decrescente e ha come costante di tempo esattamente \sigma =\frac{1}{RC}, ossia la costante di tempo della rete RC, avrai inizialmente una corrente impulsiva in t=0 che carica istantaneamente la capacità: se calcoli l'integrale di corrente ottieni infatti

\int_{0^-}^{\infty}C\bar{V}\delta(t)dt=C\bar{V}

che corrisponde proprio alla carica presente sul condensatore.

Dopo questo "evento di carica" il tuo segnale esterno segue esattamente la risposta libera del sistema, che corrisponde infatti ad un esponenziale decrescente con costante di tempo \tau=-\sigma, quindi non vedrai entrare altra corrente nel circuito.
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[5] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utenteelettronepazzo » 16 nov 2013, 10:28

Ok Grazie della risposta,questo lo avevo capito anche dai miei calcoli infatti la corrente che ottengo è C*V*delta di dirac (quindi impulsiva) ciò che non capisco è perché la corrente trasformata ( ea ovviamente antitrasformata) ha le dimensioni di un carica cioè Q=C*V e non di carica /tempo,
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[6] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentemarioursino » 16 nov 2013, 10:50

Intuitivamente direi

\int_\mathbb{R}f(t)\delta(t)dt=f(0) che ha ovviamente le dimensioni di f(t), quindi \delta(t) è dimensionalmente l'inverso di un tempo, ossia ha come dimensione l'Hz, però non saprei dimostrartelo a partire dalla definizione, forse considerandolo come

\delta(t)=\lim_{T\rightarrow 0}\frac{1}{T}\text{rect}\frac{t}{T}

Ps:

ciò che non capisco è perché la corrente trasformata ( ea ovviamente antitrasformata) ha le dimensioni di un carica cioè Q=C*V


Occhio perché la trasformata non ha le dimensioni del segnale originario, ricorda che è un integrale nel tempo.
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[7] Re: Problema cn trasformata di Laplace

Messaggioda Foto Utentemavesla » 16 nov 2013, 11:53

elettronepazzo ha scritto:
quello che non capisco (ammesso che il procedimensto sia corretto..ma penso di si) è come mai la corrente trasformata viene CV quindi dimensionalmente una carica e non una corrente.Qualcuno sa darmi una mano? Grazie

Ciao! La trasformata del segnale i(t) ha una dimensione [As] in quanto una corrente è stata integrata nel tempo dall'operatore della trasformata. Per questo motivo penso che portando s al secondo membro le dimensioni dovrebbero tornare. :ok:
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