ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **luciano87** » 16 dic 2013, 23:09

Ecco a voi una nuova casistica! Stavolta il regime è stazionario, quindi dovrebbe essere molto più semplice come calcolo rispetto al sinusoidale.
Ho dubbi, ahimè sulla dicitura ed eventuali passaggi, quindi correggete dove ho sbagliato ma sopratutto se avete da segnalarmi ulteriori alternative di risoluzione!

Il circuito in figura e in regime stazionario per t < 0. Il generatore si spegne all'istante t = 0. Determinare la tensione ai capi del condensatore in ogni istante di tempo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

per t<0
Il circuito è in regime stazionario.Inizio con il semplificare:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$R_{12}=R_{1}//R_{2}= 30\Omega$

Calcolo direttamente la tensione lungo C attraverso il partitore.

$V_{C}= e\frac{R_{3}}{R_{3}+R_{12}}= 7.692V$

Solo per verifica uso le equazioni:

$\begin{cases} & \ e=V_{12}+V_{C} \\ & \ i= i_{C}+i_{3} \\ & \ V_{C}=V_{3} \end{cases}$

sintetizzo all'ultima stringa:

$R_{12}C\frac{\mathrm{d} v_{C}}{\mathrm{d} t}+\left (\frac{R_{12}}{R_{3}}+1 \right )V_{C}=e$

$30\frac{\mathrm{d} v_{C}}{\mathrm{d} t}+\left (\frac{30}{100}+1 \right )V_{C}=10$

$\lambda =-0.043$

$y_{oV_{C}}=Ae^{-0.043t}$

$y_{pV_{C}}\Rightarrow 1.3B=10\Rightarrow B=7.692$

$y_{pV_{C}}=Ae^{-0.043t}+7.692$

per t=0

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ricavo $R_{eq}$ utilizzando le conduttanze:

$R_{eq}=G_{12}+G_{3}=0.043$

risulterà ancora $V_{C}(0)=7.692V$

per t>0

Visto che e(t)=0

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$V_{\infty }=V_{C}(0)e^{-\frac{R_{eq}}{C}}\Rightarrow 7.962^{-0.043t}$

$V_{C}(t)=7.692+7.692e^{-0.043}$

Le equazioni sono le stesse
$y_{pV_{C}}=Ae^{-0.043t}$

per calcolare A impongo:

7.692=A

$V_{C}(t)=7.692+7.692e^{-0.043t}$

A VOI SEGNALAZIONI ERRORI, CONSIGLI! GRAZIE :ok:

da **IsidoroKZ** » 16 dic 2013, 23:18

Nei circuiti a una sola costante di tempo tutte le forme d'onda sono costanti oppure si muovono secondo esponenziali, di cui si sa scrivere l'espressione.

La tensione a t=0- e` uguale a t=0+ e l'hai calcolata correttamente. La tensione a t->oo e` zero e si scrive al volo l'espressione del condensatore che si scarica. La costante di tempo la si calcola anche by inspection tau=C x Req.

da **luciano87** » 16 dic 2013, 23:32

Scusa la mia ignoranza

IsidoroKZ dunque per t>0 mi basta scrivere

$V_{C }(\infty)=0$

e applicando la solita espressione: ${{V}_{C}}(t)=[{{V}_{C}}(0)-{{V}_{C}}(\infty )]{{e}^{-\frac{t}{\tau }}}+{{V}_{C}}(\infty )$

la soluzione finale risulterà $V_{C}(t)=7.692e^{-0.043}$ :?:

non ho reso l'idea qui sorry

isidoroKZ ha scritto:La costante di tempo la si calcola anche by inspection tau=C x Req.

io ho applicato $\tau = -\frac{C}{R_{eq}}$ intendiamo la stessa cosa?

da **IsidoroKZ** » 16 dic 2013, 23:33

La costante di tempo per un singolo condensatore vale C x R, con una singola induttanza L/R.

Per il resto si` e` giusto: la soluzione la si scrive by inspection, a vista.

da **luciano87** » 16 dic 2013, 23:44

Perfetto, questo non lo sapevo. Non ho mai applicato questa metodologia.
Grazie per la tua solita cortesia e disponibilità! :ok:

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