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da **Eneru** » 19 gen 2014, 23:15

Ho iniziato da poco i primi concetti del campo magnetico rotante e prima di introdurre il Teorema di Galileo Ferraris il professore ha fatto il teorema di Le Blanc. Però non ho ben capito la dimostrazione di questo teorema.
Se non ho capito male il teorema dice che un vettore rotante può essere scomposto in 2 vettori uno opposto all'altro, rotanti uno l'opposto dell'altro e aventi entrambi modulo pari alla metà del modulo del vettore iniziale.
Mi piacerebbe capire bene la dimostrazione di questo teorema se possibile anche con qualche disegno.

da **DirtyDeeds** » 19 gen 2014, 23:48

Eneru ha scritto:il teorema dice che un vettore rotante

Piuttosto un vettore che vari armonicamente nel tempo. Considera il vettore

$\boldsymbol{a}(t) = A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t$

dove $\hat{\mathbf{u}}$ è un versore che definisce l'orientamento del vettore. Considera ora un altro versore $\hat{\mathbf{v}}$ ortogonale a $\hat{\mathbf{u}}$ . Possiamo scrivere

$\begin{align}\boldsymbol{a}(t) &= \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t \\ &= \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t \\ &= \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)+\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t) \end{align}$

dove

$\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) = \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t+\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t$

è un vettore che ruota in senso antiorario nel piano $\hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{v}}$ opportunamente orientato e

$\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t) = \frac{1}{2}A\hat{\mathbf{u}}\cos\omega t-\frac{1}{2}A\hat{\mathbf{v}}\sin\omega t$

è un vettore che ruota in senso orario, sempre nel piano $\hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{v}}$ .

da **Eneru** » 20 gen 2014, 19:24

Scusa se ho tardato nel rispondere e grazie per la risposta ora mi è già più chiaro.

da **DirtyDeeds** » 20 gen 2014, 19:57

Una cosa che mi ero dimenticato di specificare è questa: per capire che i due vettori $\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)$ e $\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t)$ sono rotanti, basta notare che

$|\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)|^2 = \boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)\cdot\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t) = \frac{A^2}{4} = \text{cost.}$

e che

$\cos(\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t),\hat{\mathbf{u}}) = \frac{\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)\cdot\hat{\mathbf{u}}}{|\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)|} = \cos\omega t$

da cui si vede che il modulo del vettore $\boldsymbol{a}_\mathrm{a}(t)$ e costante nel tempo e che questo forma un angolo $\omega t$ con la direzione del vettore $\boldsymbol{a}(t)$ . Analogamente per $\boldsymbol{a}_\mathrm{o}(t)$ .

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