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Convergenza serie numerica

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[1] Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto Utentepiero1987 » 23 gen 2014, 21:32

Ciao a tutti :)
Mi potete dire se ho svolto in modo corretto questo esercizio?

Utilizzando il criterio del confronto dimostrare la convergenza della seguente serie:
\[\sum_{n=1}^{\propto }\frac{ln(n)}{n^{3}+1}\]

Confronto la serie con un'altra serie simile:
scelgo una serie armonica : \[\sum_{n=1}^{\propto }\frac{1}{n^{3}}\]

scelgo la minorante e la maggiorante

\[\sum_{n=1}^{\propto }\frac{1}{n^{3}}\] < \[\sum_{n=1}^{\propto }\frac{ln(n)}{n^{3}+1}\]

se converge la minorante converge anche la maggiorante.
\[\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{1}{n^{3}} = 0\]

la serie minorante converge, quindi converge anche la maggiorante.

Ho fatto in maniera corretta ?
grazie mille :-)
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[2] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto UtentePepito » 23 gen 2014, 22:14

UtenteCancellato1987 ha scritto:Ciao a tutti :)
se converge la minorante converge anche la maggiorante.


No, se la maggiorante converge allora converge anche la minorante...
ciao

PSQ
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[3] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto Utentepiero1987 » 23 gen 2014, 22:15

Quindi ho sbagliato a prendere la serie di confronto? ne dovevo prendere una maggiore della serie di partenza?
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[4] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto UtentePepito » 23 gen 2014, 22:20

Beh, prova a pensare: tu devi dimostrare che la tua serie di partenza converge. Se ne trovi una più grande che sai sicuramente convergente, allora anche la tua di partenza (con termine più piccolo) sicuramente converge. Il contrario, anche a intuito, non può funzionare... :D
ciao

PSQ
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[5] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto Utentepiero1987 » 23 gen 2014, 22:29

Certo. hai ragione :)

la serie che devo prendere per confrontarla deve essere per forza del tipo 1/n?
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[6] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto UtentePepito » 23 gen 2014, 22:41

In realtà il primo criterio del confronto funziona con tutte le serie a termini non negativi. Devi confrontarla con una serie maggiorante nota. Non ti saprei fare ora un esempio perché sono anni che non faccio esercizi :D

Comunque volevo farti notare una cosa. Hai scritto:

\[\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{1}{n^{3}} = 0\]

Attenzione che questa è una condizione necessaria, non sufficente perché la serie converga. Se il limite non andasse a zero significherebbe che la serie sicuramente diverge. Andando il limite a zero significa solo che quella serie potrebbe convergere, ma non puoi esserne sicuro.
Ciao

PSQ
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[7] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto Utentepiero1987 » 23 gen 2014, 22:54

Stavo guardando l'esempio che c'è in questa pagina: in pratica ha fatto MAGGIORANTE < MINORANTE

in poche parole ha preso come serie di confronto una serie più piccola...
Ultima modifica di Foto UtenteDirtyDeeds il 23 gen 2014, 23:02, modificato 1 volta in totale.
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[8] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 23 gen 2014, 22:57

Conviene ricordare che per n\ge 1,

\ln n \le n-1
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
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[9] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto Utentepiero1987 » 23 gen 2014, 23:02

DirtyDeeds ha scritto:Conviene ricordare che per n\ge 1,

\ln n \le n-1


scusami... non ho capito :(
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[10] Re: Convergenza serie numerica

Messaggioda Foto UtentePepito » 23 gen 2014, 23:05

UtenteCancellato1987 ha scritto:Stavo guardando l'esempio che c'è in questa pagina:http:
//www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/732-criterio-del-confronto-o-di-gauss-per-serie.html
in pratica ha fatto MAGGIORANTE < MINORANTE

in poche parole ha preso come serie di confronto una serie più piccola...


No, veramente c'è scritto che se
a_n \leq b_n definitivamente
allora
se converge \sum_{n=1}^{+\infty} b_n converge anche \sum_{n=1}^{+\infty} a_n.
Ha preso come confronto la serie dei b_n che è la maggiorante.
ciao

PSQ
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