Poli - Stabilità sistema, perché?

[kotek]

Ciao a tutti,
avrei una serie di domande sulla questione determinazione dei poli di una funzione di trasferimento e stabilità del sistema in considerazione.
Domande:
1) Data , una generica funzione di trasferimento di qualsiasi grado/ordine essa sia, la determinazione dei poli mi permette sempre di determinare la stabilità o meno del sistema?
2) Come può la determinazione di un polo decretare la stabilità del sistema per qualsiasi tipo di segnale io metta in ingresso? Ovvero i poli sono quegli s (numeri complessi) dove il denominatore della funzione di trasferimento si annulla, adesso questo s è un numero composto da una frequenza e uno smorzamento, nel dominio del tempo a cosa corrisponde?

[simo85]

1) Direi di si.

Ovvero i poli sono quegli s

Gli zeri ed i poli sono le radici dei polinomi, rispettivamente al numeratore e denominatore.

Studia anche questo PDF.

nel dominio del tempo a cosa corrisponde?

https://www.stanford.edu/~boyd/ee102/laplace_ckts.pdf

[kotek]

Domanda 3:
3) Sia data una funzione del tempo che mi indica diciamo l'andamento della tensione in un punto di un circuito e sia data la sua trasformata di laplace .
Il dubbio che mi pongo io è il seguente: se do a un valore qualsiasi, ovvero un tempo, essa mi restituisce il valore di tensione in quel punto in quel determinato istante, adesso se do a una certa essa mi restituisce un valore complesso, ma questo valore cosa mi rappresenta? Seconda cosa ad do un tempo, ma ad do una variabile complessa, il valore di che io do cosa rappresenta??

[obiuan]

1) Data , una generica funzione di trasferimento di qualsiasi grado/ordine essa sia, la determinazione dei poli mi permette sempre di determinare la stabilità o meno del sistema?

dunque, piano e bene.

s è la variabile complessa di Laplace, che quindi è composta da una parte reale e da una immaginaria. Ragioniamo per semplicità nell'ipotesi di sistemi a poli semplici (con molteplicità 1). Quando antitrasformi la G(S), che significa valutare nel tempo la risposta all'impulso in ingresso, dal teorema della scomposizione in fratti semplici ottieni termini del tipo:

dove i Pi sono i poli. Se supponi:



attraverso la formula di eulero ottieni:



nel tempo, siccome per il teorema fondamentale dell'algebra (o un suo corollario, se preferisci), per ogni radice complessa è radice anche il suo coniugato, se supponiamo che il polo Pi sia il coniugato di Pj, combinando i due esponenziali derivanti dai due poli:



da cui, tenendo presente che e , e che cos(x) = cos(-x) e sen(x) = -sen(-x), ottieni:



da cui ottieni subito che:
- se un polo ha parte reale positiva, il sistema diverge come risposta all'impulso.
- se tutti i poli hanno parte reale negativa, il sistema a regime converge ad un valore costante
- se esistono poli a parte reale nulla, il sistema presenta a regime una condizione oscillatoria sulla pulsazione della parte immaginaria dei poli.

Detto questo (che forse sapevi già), la tua seconda domanda:

2) Come può la determinazione di un polo decretare la stabilità del sistema per qualsiasi tipo di segnale io metta in ingresso? Ovvero i poli sono quegli s (numeri complessi) dove il denominatore della funzione di trasferimento si annulla, adesso questo s è un numero composto da una frequenza e uno smorzamento, nel dominio del tempo a cosa corrisponde?

qualunque sia il segnale di ingresso, purchè sia limitato, la posizione dei poli rispetto all'asse immaginario determina la stabilità del sistema. Se infatti antitrasformi il prodotto G(s) x I(s), dove I(s) è ovviamente la trasformata del segnale di ingresso, ottieni un'altra scomposizione in fratti semplici che comprenderà oltre ai termini dovuti ai poli della G(s) anche quelli dovuti alle radici del denominatore della I(s). Se la I(s) è limitata, non può presentare radici al denominatore con parte reale positiva ne consegue che la trasformata finale sarà anch'essa limitata.

Domanda 3:
3) Sia data una funzione del tempo che mi indica diciamo l'andamento della tensione in un punto di un circuito e sia data la sua trasformata di laplace .
Il dubbio che mi pongo io è il seguente: se do a un valore qualsiasi, ovvero un tempo, essa mi restituisce il valore di tensione in quel punto in quel determinato istante, adesso se do a una certa essa mi restituisce un valore complesso, ma questo valore cosa mi rappresenta? Seconda cosa ad do un tempo, ma ad do una variabile complessa, il valore di che io do cosa rappresenta??

qua si va un po' sulla filosofia :) se la F(s) non è una funzione di trasferimento, trovo difficile attribuire un significato nel tempo al valore complesso assunto dalla F in un particolare s. Se invece è la f.d.t. di un sistema, allora assegnare un valore ad s significa valutare il comportamento (in fase ed ampiezza) della risposta del sistema alla componente su s dell'ingresso. Essendo per definizione la f.d.t. la risposta all'impulso di area unitaria, la cui trasformata è una costante di valore unitario, assegnare ad s un valore significa calcolare quale sia il contributo di quella particolare componente (cisoidale) dell'ingresso sull'uscita.

[obiuan]

Aggiunta sulla domanda a cosa corrisponde s nel tempo..puoi vederla così: ad og n i s nel dominio di laplace corrisponde una funzione cisoidale con una sua pulsazione e un suo smorzamento nel dominio del tempo. Se allora leggi la trasformata come una scomposizione di una funzione nelle sue componenti, calcolarla in una s particolare ti dice quale sia la particolare componente cisoidale della f di partenza. Se elimini sigma e pensi solo alle pulsazioni provabilmente ti viene più semplice immaginarlo.