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da **markrock2** » 8 apr 2014, 16:20

Salve a tutti!
Per dimostrare l'unicità di una soluzione alle equazioni di Maxwell nel caso di un volume limitato (problema interno), si procede per assurdo: date delle sorgenti $\mathbf{J}, \mathbf{J}_m$ si vuole determinare il campo in un volume

finito e limitato dalla superficie

; si suppone che sia il campo $\mathbf{E}_1, \mathbf{H}_1$ , sia il campo $\mathbf{E}_2, \mathbf{H}_2$ possano essere soluzione delle equazioni di Maxwell nel volume indicato.
Si considera il campo $\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2, \mathbf{H} = \mathbf{H}_1 - \mathbf{H}_2$ .
Applicando il Teorema di Poynting (ai fasori) si ottiene:

$\oint_S \mathbf{E} \times \mathbf{H}^* \cdot d \mathbf{S} + \int_V \sigma |\mathbf{E}|^2 dV = j \omega \int_V (\epsilon |\mathvf{E}|^2 - \mu |\mathvf{H}|^2) dV$

Se la condizione al contorno su

è specificata, sarà $\mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{E}_1 = \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{E}_2 \rightarrow \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{E} = 0$ . $\mathbf{\hat{n}}$ è la normale alla superficie

e solo le componenti tangenziali alla superficie contribuiscono all'integrale, quindi se $\mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{E} = 0$ oppure $\mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{H} = 0$ allora anche il primo integrale è 0.

Quando il volume

è tutto lo spazio, la superficie

tende all'infinito: problema esterno. Come si dimostra ora che il primo integrale è 0?

Le condizioni al contorno da usare sono quelle di Sommerfeld:

$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r|\mathbf{E}| < q_1$
$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r|\mathbf{H}| < q_2$
$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r ( \mathbf{E} - \eta \mathbf{H} \times \mathbf{\hat{u}}_r ) = 0$
$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r \left( \mathbf{H} - \frac{\mathbf{\hat{u}}_r \times \mathbf{E}}{\eta} \right) = 0$

con q_1, q_2

costanti arbitrarie e $\eta$ impedenza d'onda (reale).

In questo http://www.electroyou.it/forum/viewtopic.php?f=14&t=44904&p=407781&hilit=teorema+di+unicit%C3%A0 post il teorema viene dimostrato dicendo che le prime due condizioni di Sommerfeld sono

$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r|\mathbf{E}| = 0$
$\displaystyle \lim_{r \to \infty} r|\mathbf{H}| = 0$

(l'integrale con il vettore di Poynting si annullerebbe perché si annullano i campi per $r \to \infty$ ). Ma queste condizioni non sono soddisfatte dal campo del dipolo herziano, che è proporzionale a 1 / r

e che quindi è limitato, ma non nullo, per $r \to \infty$ .

Come si può dimostrare quindi il teorema nel caso di volume (spazio) infinito?

Grazie per aver letto,

MarkR

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Teorema di unicità (elettromagnetismo) - problema esterno

[1] Teorema di unicità (elettromagnetismo) - problema esterno

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