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da **disperata87** » 15 lug 2014, 9:57

Ciao a tutti. Questo e' un dubbio riguardo il corretto formalismo matematico da usare per descrivere il periodo in un segnale in continua.

In particolare, se la frequenza e' zero, sto lavorando con un segnale in continua, che ha periodo teoricamente infinito.

C'e' un formalismo matematico adatto a descrivere $T=\frac{1}{f}=+\infty$ ?

da **simo85** » 15 lug 2014, 20:47

disperata87 ha scritto:C'e' un formalismo matematico adatto a descrivere $T=\frac{1}{f}=+\infty$ ?

Secondo me, sempre se non sbaglio

$\begin{aligned} & f = x\\ \\ & \lim_{x \to 0^+} \, {1 \over x} = + \infty \\ & \lim_{x \to 0^-} \, {1 \over x} = - \infty \end{aligned}$

Ciao

da **DocBrown** » 15 lug 2014, 21:23

Capisco il formalismo matematico applicato, ma che senso ha ipotizzare come ammissibili una frequenza o un periodo di valore negativo? (rispettivamente facendo tendere x a 0 negativo e ottenendo il valore di meno infinito)
Non sarebbe meglio limitarsi al primo limite (perdonate il gioco di parole!) o c'è qualcosa che mi sfugge...? :-|

da **gotthard** » 15 lug 2014, 21:47

Credo che si possa scrivere anche, ponendo T=x

:

$f= \lim_{x \to \infty} \, {1 \over x} =0$

da **DirtyDeeds** » 15 lug 2014, 22:10

Partiamo dalla definizione: una funzione

definita su $X\subset\mathbb{R}$ è periodica se esiste $T\in \mathbb{R}, T\neq 0$ tale che $t+T,t-T\in X$ e

f(t) = f(t+T)

La definizione si può poi estendere facilmente al campo complesso, ma limitiamoci al campo reale. Notiamo che il periodo può essere positivo o negativo e che se

è un periodo, lo è anche

con $m\in\mathbb{Z}$ è un periodo. Quindi di periodi ce ne sono infiniti: per una funzione costante su tutto $\mathbb{R}$ , poi, qualunque valore è un periodo.

Il minimo valore

positivo (cioè strettamente maggiore di 0) per cui vale l'equazione sopra, è detto periodo fondamentale (o primitivo o base). Quando si parla genericamente di periodo di una funzione si intende il periodo fondamentale. Il valore reciproco di un periodo fondamentale f = 1/T

, è detto frequenza fondamentale.

Volendo, la definizione può essere indebolita considerando anche zero come periodo e accettando periodi fondamentali negativi, ma nei casi più comuni viene usata la definizione più restrittiva.

Fatta questa premessa, cosa possiamo dire delle funzioni costanti? Una funzione costante non ha un periodo fondamentale, così come non ha una frequenza fondamentale. Definire un periodo o una frequenza fondamentali per una funzione costante è allora solo questione di convenzione: una convenzione conveniente è quella di assegnare a una funzione costante una frequenza nulla, perché una funzione costante può essere vista (ma anche no) come il limite per frequenza che tende a 0 di una qualche funzione periodica campione. Assumendo che il periodo fondamentale debba essere positivo e immaginando di considerare funzioni definite sulla retta reale estesa $\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ (con le opportune operazioni), possiamo allora convenzionalmente (quando proprio avessimo necessità farlo) assegnare alle funzioni costanti periodo fondamentale $+\infty$ .