Funzioni inverse

[Vicentio]

Ho un piccolo problemino su le funzioni inverse.
Sappiamo tutti che una funzione per essere invertibile deve essere binietiva.
Pero se io ho una funzione che è binietiva solo nel insieme 0;+infinito ciò solo nel insieme R positivo e mi serve l'inversa solo nel R positivo poso trovarla.
Se si come quali sono i metodi.
Grazie!

[Ianero]

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca o bijettiva, ovvero iniettiva e suriettiva (sai darmi le definizioni di queste due proprietà delle funzioni?).
Se hai una funzione della classica forma:



il metodo per trovare l'inversa è riesplicitare le espressioni secondo la variabile .
Si ottiene quindi una nuova funzione del tipo:



è l'inversa di , e viceversa, quando si ha che:




e si può allora dire che:

.

Ora ti chiedo: cosa succederebbe se provassi brutalmente ad invertire una funzione non iniettiva? Ciò che otterresti sarebbe una funzione?

[ilfantasmaformaggino]

Ciao, volevo aggiungere solo una cosa alla risposta che è stata data, cioè si, se ti limiti solo al pezzo in cui è biettiva puoi trovare tranquillamente l'inversa, un esempio è la funzione seno e la sua inversa l'arcoseno.
Non voglio fare il precisino ma siccome è qualche giorno che bazzico qui, amo la matematica , non so una sega di matematica ma questa un Po' la so, ho voluto quindi contribuire

P.s.
Curiosita': una funzione invertibile è tale che composta con l'inversa ti dà l'identità, ma non è detto che se una funzione composta con un'altra ti da l'identità allora quella funzione è per forza biettiva e quindi invertibile e l'altra è la sua inversa, se però questo accade allora una funzione si chiama inversa destra e una inversa sinistra, se assumi vero l'assioma della scelta allora ogni funzione surgettiva ha inversa destra iniettiva e viceversa.

[Vicentio]

Vi do un esempio se ho un funzione : come trovo l' inversa solo nel insieme dove è biettiva.

[PietroBaima]

La funzione è una parabola non centrata in {x,y}={0,0}, quindi conviene traslare gli assi e riportarla in tale punto.
Avendo definito si ha che:



e



Provvedo quindi alla traslazione, ottenendo:



Si vede, quindi, che la parabola centrata in zero corrisponde a (calcolando esplicitamente il primo membro di quella traslazione).

Invertendo la formula ottengo:



che posso scrivere anche come:





Ho quindi che:



Le due funzioni ottenute sono una positiva ed una negativa, quella negativa ha validità per il ramo della parabola originaria per , l'altra altrimenti tranne il punto , che è un punto a derivata nulla e come tale non rispetta il teorema del Dini.

Ciao,
Pietro.

[Vicentio]

Grazie! A me interessava questo argomento perché ho trovato una funzione per calcolare il tempo in quale si riempia un serbatoio di forma sferica in funzione dell' altezza. E dopo ho pensato di fare l' inversa per sapere l' altezza in funzione del tempo.
Grazie!

[Vicentio]

Questa sarebbe la mia funzione :
-quantità di liquido
-altezza del liquido
-ragione del serbatoio sferico