Pressione elettrostatica

[Ianero]

Scusate se sto intasando un po' la sezione di fisica ultimamente, ma ci sono delle dimostrazioni che veramente non riesco a concepire e che mi sembrano solo ragionamenti contorti per trovare una formula che altrimenti non verrebbe fuori (anche se sono sicuro che in fondo il problema sono io che non riesco a capirle).
Un nuovo esempio è la dimostrazione del valore della pressione elettrostatica sulla superficie dei conduttori:



Per dimostrarla il libro considera una superficie conduttrice, forandola in modo da perturbare di poco il campo.

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Il libro approssima la parte mancante come un piano, il cui campo generato sulla superficie è:



(Questo risultato era stato ottenuto in precedenza per un piano infinito, non infinitesimo. Sta barando )

Sulla superficie del resto della sfera si ha:



per cui:



Infine:



Dimostrazione conclusa.
Ora io mi chiedo perché tutto questo casino nel bucare la superficie e barare con quel piano approssimante.
Potrei benissimo ragionare con le stesse linee di principio ottenendo però un risultato diverso, non seguendo i suoi passaggi.
Considero una superficie generica e so che in un punto della sua superficie per il teorema di Coulomb ho che il campo vale:



che corrisponde al campo generato da tutte le altre cariche della superficie nel punto considerato.
Se in quel punto è presente quel campo allora la carica superficiale in quel punto sentirà una pressione pari a:



La densità superficiale è infatti una grandezza che varia da punto a punto, non vedo perché sia necessario togliere alla superficie un pezzetto di essa (approssimandola pure), anziché un punto, come in questo caso, ottenendo però un risultato doppio di quello desiderato.

[RenzoDF]

... Se in quel punto è presente quel campo allora la carica superficiale in quel punto sentirà una pressione pari a:

Non tutte le cariche "sentono" lo stesso campo. ... ci sono quelle più esterne e quelle più interne.

La spiegazione sta nell'andare ad analizzare con la lente di ingrandimento (bella grossa) quella discontinuità del campo alla superficie del conduttore. Il discorso si riaggancia a quel riferimento (1), ancora in sospeso, nel post [19] del precedente thread sulle cariche, che quindi potremo chiarire anche qui, ma lascio per ora a te intuire a cosa mi sto riferendo.

[Ianero]

Perché non è detto che la densità sia uniforme?
Io qui intendevo la densità nel punto specifico dove misuro il campo e voglio calcolare la pressione:

[RenzoDF]

Perché non è detto che la densità sia uniforme?

Io intendevo riferirmi all'intensità del campo, ecco cosa si vedrebbe con un ingrandimento dell'ordine delle decine di milioni

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Ora, mentre il tuo testo, ovvero (suppongo) il Mencuccini Silvestrini, va a fare quel discorso (ovviamente) corretto, ma un po' macchinoso a mio parere (e non "bara" perché fa un discorso "locale" su dS, che lascia in posizione iniziale), quella pressione qui a SB (ma anche al MIT) si spiega normalmente con il "secondo metodo" del testo (dei "lavori virtuali"), ma anche via campo medio sulle cariche di quella superficie infinitesima dS.

Quelle esterne "sentono" infatti il campo superficiale, mentre quelle interne "sentono" un campo nullo e quindi ecco da dove arriva quell'emivalore e si potrebbe dimostrare che questo modo di vedere il problema è valido anche se si abbandona l'ipotesi di densità uniforme nello spessore dr carico, sempre che si ammetta che dr sia piccolo rispetto a R (e visto che lo strato è di spessore dell'ordine dell'angstrom, sarà difficile che non lo sia).

[Ianero]

Sì hai ragione, sono andato a leggere il metodo dei lavori virtuali e mi sembra più naturale come dimostrazione.
Se non ho capito male si basa su una ipotetica variazione infinitesima di energia potenziale del sistema che si sta analizzando e in base a questa sì calcolano i valori delle forze che l'hanno prodotta, giusto?

Per il discorso del piano infinitesimo si può utlizzare quella formula perché ci troviamo nelle vicinanze della superficie? Per essere precisi dovrei dire a una distanza di un infinitesimo di ordine superiore al primo?

[RenzoDF]

... Se non ho capito male si basa su una ipotetica variazione infinitesima di energia potenziale del sistema che si sta analizzando e in base a questa sì calcolano i valori delle forze che l'hanno prodotta, giusto?

Sì, si va a legare la forza alla variazione di energia elettrostatica associata allo spostamento infinitesimo dell'elemento di superficie dS, ovvero la classica relazione

... Per il discorso del piano infinitesimo si può utlizzare quella formula perché ci troviamo nelle vicinanze della superficie? Per essere precisi dovrei dire a una distanza di un infinitesimo di ordine superiore al primo?

Sostanzialmente si, il Mencuccini non si sbilancia sulle dimensioni di quell'elemento dS, ma anche Griffiths nel suo "Introduction to electrodynamics", tanto per non sbagliarsi, lo chiama "small patch ... tiny enough so it is essentially flat ..." ,

pag.102

pag. 103

ma come dici tu, possiamo pensarlo proprio come punto a distanza infinitesima rispetto alla dS già infinitesima.

Quello che non capisco è comunque la necessità di questo "trucco" scompositivo; se mi vengono a dire che il campo complessivo può essere visto come sovrapposizione di due campi e che il campo prodotto dalla "patch" non può esercitare una forza su se stessa e quindi dopo averli "separati" mi vanno a sommare il campo "superiore" al campo "inferiore" per trovare che il campo è quello medio, ... mi chiedo, ma non potevano semplicemente affermare che se dS è infinitamente piccola, e se quindi facciamo un "buco" infinitesimo sulla superficie il campo non sarebbe variato nel punto e quindi avremmo potuto scrivere direttamente che



Ovviamente io sono solo un idraulico, ma a volte mi sembra proprio che vadano a "complicare gli affari semplici".

[Ianero]

Credo di aver capito
Mi devo rileggere bene l'ultima parte del tuo messaggio, grazie mille della disponibilità