ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **abj79** » 27 ott 2014, 14:05

A seguito del post precedente pubblico un altro esercizio da risolvere in via differenziale applicando le leggi di Kirchhoff.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

t>0 L'equazione risolvente è (*):
$\left\{\begin{matrix} i_{r}=i_{c}+i_{l}\rightarrow i_{r}=i_{l}+LC\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\\ \\v=Ri_{r}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t} \\0=V_{c}-L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\end{matrix}\right. \\ \Rightarrow v(t)=RLC\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}+Ri_{l} \ \ (*)$
la cui soluzione è:
$V_{c}=V_{c}^{0}+V_{c}^{p}$ con:
$V_{c}^{0}=K_{1}e^{\alpha _{1}t}+K_{2}e^{\alpha _{2}t} \rightarrow \alpha _{1}=-29,29 \ \ \alpha _{2}=-170,71$ soluzione dell'omogenea associata, e con:
$i_{l}^{p}=I_{m}sin(\omega t- \varphi ) \rightarrow \varphi =-0.59rad \ \ \ I_{m}=-1.44A$ soluzione particolare.
In definitiva, per t>0 si ha:
$i_{l}(t)=K_{1}e^{-29.29t}+K_{2}e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59))$

t<0 a regime:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$v=Ri+L\frac{\partial i}{\partial t}$
la cui soluzione è l'integrale particolare:
$i^{p}=I_{m2}sin(\omega t- \varphi _{2}) \rightarrow \varphi _{2}=1.49rad \ \ \ I_{m2}=2.58A$

Per il calcolo delle costanti K1 e K2:
1) il(t)|t=0+ = i(t)|t=0- cioè:
$2.58sen(-1.49)=K_{1}+K_{2}-1.44sin(0.59)) \rightarrow K_{1}+K_{2}=-1.77$ (1)

2)Per t=0+ il condensatore è inizialmente scarico: ic(0+)=0.
Dalla III eq del sistema si era ottenuto:
$0=V_{c}-L\frac{\partial i_{c}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{\partial V_{c}}{\partial t}=L\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2} \rightarrow i_{c}=LC \frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}$
perciò, dopo aver opportunamente derivato due volte la il trovata per t>0, possiamo scrivere:

$i_{c}(0+)=0=LC(K_{1}\alpha _{1}^2+K_{2}\alpha _{2}^2+1.44\omega ^2sen0.59) \rightarrow 894.01K_{1}+29141.9K_{2}=-78991.2$ (2)

Dal sistema di (1)+(2) si ottengono:
K1=0.97; K2=-2.74 da cui:

$i_{l}(t)=0.97e^{-29.29t}-2.74e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59)$

Può andare?

da **RenzoDF** » 27 ott 2014, 16:19

Premesso che, anche se non cambia nulla, non capisco perché anticipare la soluzione per t>0 a quella per t<0 :-)

...

abj79 ha scritto:... In definitiva, per t>0 si ha:
$i_{l}(t)=K_{1}e^{-29.29t}+K_{2}e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59))$ ...

Su questa relazione concordo.

abj79 ha scritto:...la cui soluzione è l'integrale particolare:
$i^{p}=I_{m2}sin(\omega t- \varphi _{2}) \rightarrow \varphi _{2}=1.49rad \ \ \ I_{m2}=2.58A$

e anche su questa

abj79 ha scritto:... Per il calcolo delle costanti K1 e K2:
1) il(t)|t=0+ = i(t)|t=0- cioè:
$2.58sen(-1.49)=K_{1}+K_{2}-1.44sin(0.59)) \rightarrow K_{1}+K_{2}=-1.77$

e qui pure :-)

Ma quando scrivi

abj79 ha scritto:... 2)Per t=0+ il condensatore è inizialmente scarico: ic(0+)=0.
Dalla III eq del sistema si era ottenuto:
$0=V_{c}-L\frac{\partial i_{c}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{\partial V_{c}}{\partial t}=L\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2} \rightarrow i_{c}=LC \frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}$

non capisco cosa intendi fare (typo ic a parte), non bastava forse dire che dalla relazione iniziale

$0={{v}_{C}}-L\frac{\text{d}{{i}_{L}}}{\text{dt}}$

avremo che la seconda condizione iniziale (sulla derivata prima della corrente nell'induttore) era ricavabile da

${{\left. \frac{\text{d}{{i}_{L}}}{\text{dt}} \right|}_{t=0+}}=\frac{{{v}_{C}}(0+)}{L}=0$

che avrebbe portato al seguente secondo vincolo fra le costanti K

$-29.29{{K}_{1}}-170.7{{K}_{2}}-1.44\cos (0.59)=0$

e non concordo di conseguenza sui valori ricavati per K1 e K2

abj79 ha scritto:...Dal sistema di (1)+(2) si ottengono:
K1=0.97; K2=-2.74 da cui:

in quanto a me risultano

K1=0.522; K2=-2.29

Come sempre, controlla; i calcoli li ho fatti in velocità.

da **abj79** » 27 ott 2014, 17:14

RenzoDF ha scritto:Ma quando scrivi
abj79 ha scritto:... 2)Per t=0+ il condensatore è inizialmente scarico: ic(0+)=0.
Dalla III eq del sistema si era ottenuto:
$0=V_{c}-L\frac{\partial i_{c}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{\partial V_{c}}{\partial t}=L\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2} \rightarrow i_{c}=LC \frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}$

non capisco cosa intendi fare (typo ic a parte), non bastava forse dire che dalla relazione iniziale

ho sbagliato condizione iniziale: nella fase di carica la i iniziale non è 0. E' invece nullo il Vc. Quindi ok, ho capito l'errore. La ti89 ci dice che K1=-2.12; K2=0.35.

da **abj79** » 27 ott 2014, 17:15

GRAZIE!!

da **abj79** » 27 ott 2014, 17:20

Ps: come scelgo i segni delle piastre di un condensatore quando non è indicato in un circuito?
Ad es:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

da **RenzoDF** » 27 ott 2014, 17:42

abj79 ha scritto:...ho sbagliato condizione iniziale: nella fase di carica la i iniziale non è 0. E' invece nullo il Vc. Quindi ok, ho capito l'errore. La ti89 ci dice che K1=-2.12; K2=0.35.

Ora non capisco io, di quale corrente stai parlando? ... che equazioni hai dato in pasto alla ti89?

da **RenzoDF** » 27 ott 2014, 17:44

abj79 ha scritto:Ps: come scelgo i segni delle piastre di un condensatore quando non è indicato in un circuito?

Per poter usare le classiche equazioni costitutive per condensatore ed induttore devi usare per entrambi i bipoli la convenzione degli utilizzatori ovvero correnti entranti nel morsetto considerato positivo per le tensioni.

da **abj79** » 27 ott 2014, 17:48

RenzoDF ha scritto:
abj79 ha scritto:...ho sbagliato condizione iniziale: nella fase di carica la i iniziale non è 0. E' invece nullo il Vc. Quindi ok, ho capito l'errore. La ti89 ci dice che K1=-2.12; K2=0.35.

Ora non capisco io, di quale corrente stai parlando? ... che equazioni hai dato in pasto alla ti89?

si trattava del sistema:
k1+k2=-1.77
-29.29k1-170.71k2-1.44sin(0.59)=0

da **RenzoDF** » 27 ott 2014, 17:56

abj79 ha scritto:...
si trattava del sistema:
....
-29.29k1-170.71k2-1.44sin(0.59)=0

Occhio.

Ma non mi hai spiegato di quale corrente stavi parlando.

da **abj79** » 27 ott 2014, 18:04

RenzoDF ha scritto:
abj79 ha scritto:Ps: come scelgo i segni delle piastre di un condensatore quando non è indicato in un circuito?

Per poter usare le classiche equazioni costitutive per condensatore ed induttore devi usare per entrambi i bipoli la convenzione degli utilizzatori ovvero correnti entranti nel morsetto considerato positivo per le tensioni.

Quindi:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

cioè nell'esempio posso considerare d'ufficio:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

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