ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **g26** » 15 nov 2014, 16:32

Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria elettronica e sto studiando Meccanica quantistica. Avrei un dubbio da sottoporvi riguardante il ricavarsi matematicamente l' equazione di Schroedinger dipendente dal tempo.
In pratica l' equazione non dipendente dal tempo si ottiene separando le variabili spaziali da quelle temporali dell' equazione di D' Alembert e combinando con l' equazione di D' Alembert anche l' ipotesi di De Broglie.
La domanda è: come ricavo quella dipendente dal tempo?

Ossia $H\psi(r,t)=i\hbar\frac{\partial\psi(r,t)}{\partial{t}}$
Dove $H=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^{2} + V(r)$
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Qui se qualcuno ne ha bisogno, illustro il modo in cui si calcola quella non dipendente dal tempo.

L' equazione delle onde è questa
$\nabla^{2}\psi(r,t) - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi(r,t)}{\partial{t}^2} = 0$

E si può separare in due variabili (parte temporale e spaziale) scrivendo
$\psi(r,t)=\psi(r)e^{-i\omega t}$

Sostituendo quest' ultima nell' equazione di D' Alembert si ottiene
$e^{-i\omega t}\nabla^{2}\psi(r) - \frac{1}{v^2} \psi(r) \frac{\partial^2 \ e^{-i\omega t}}{\partial{t}^2} = 0$

Dalla quale derivando si ha
$e^{-i\omega t}\nabla^{2}\psi(r) - \frac{1}{v^2} \psi(r) (-i\omega) (-i\omega) e^{-i\omega t} = 0$

Adesso semplifico gli esponenziali complessi e moltiplico i due $-i\omega$ , ottenendo
$\nabla^{2}\psi(r) + \frac{\omega^2}{v^2} \psi(r) = 0$

Io so che in un' onda $v= \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega\lambda}{2\pi}$

Inoltre so dall'ipotesi di De Broglie che $p= \frac{h}{\lambda}$

Quindi con qualche passaggio si ottiene $v= \frac{\hbar \omega}{mv}$

Quadrando tutto e facendo l' inverso, si ha $\frac {1}{v^2} = \frac {m^2 v^2}{\hbar^2 \omega^2}$

Prendendo quest' ultimo risultato e combinandolo con l' equazione di D' Alambert nell' ultima forma in cui l' abbiamo portata si ha:
$\nabla^{2}\psi(r) + \frac{m^2 v^2}{\hbar^2} \psi(r) = 0$

A questo punto riconosciamo classicamente che:
$m^2 v^2= \frac{1}{2}mv^2 2m$

e questa è esattamente l' energia cinetica classica, quindi possiamo scrivere
m^2 v^2=2mT_k

Essendo però T_k=E-V(r)

, dove E è l' energia totale e V(r) è l' energia potenziale, si può scrivere
m^2 v^2=2m[E-V(r)]

Ora riportando il tutto nell' equazione di D' Alembert e otteniamo l' equazione di Schroedinger
$\nabla^{2}\psi(r) + \frac{2m[E-V(r)]}{\hbar^2} \psi(r) = 0$

Infatti, moltiplicando tutto per $\frac{\hbar^2}{2m}$ si ottiene
$\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^{2}\psi(r) + E \psi(r) -V(r) \psi(r) = 0$
$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^{2}\psi(r) +V(r) \psi(r) = E\psi(r)$
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E' un procedimento simile a questo? Come dovrei fare?

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Equazione di Schroedinger

[1] Equazione di Schroedinger

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