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Integrale di 1/(x^2+1)^2

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto UtenteVicentio » 29 nov 2014, 18:31

Scusate mi sapete dire come si risolve l' integrale di 1/(x^2+1)^2?
Grazie! Io ho provato ma non riesco per scomposizione.
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[2] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 30 nov 2014, 11:19

Vicentio ha scritto:Io ho provato ma non riesco per scomposizione.

Prova a fare questa scomposizione:

{1 \over (x^2+1)^2} = {1+x^2-x^2 \over (x^2+1)^2} = {1+x^2 \over (x^2+1)^2} - {x^2 \over (x^2+1)^2} = {1 \over x^2+1} - {x^2 \over (x^2+1)^2}
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[3] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto Utenteikim » 30 nov 2014, 12:11

puoi anche utilizzare i fratti semplici
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[4] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto UtenteVicentio » 1 dic 2014, 0:05

Si pero facendo la scomposizione la prima frazione è uguale ad \arctan(x) mentre la seconda è quasi come prima.
Io ho chiesto al professore di analisi e mi ha detto di utilizzare la formula di Heremit pero non ho ben chiaro come funziona questa formula. :cry:
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[5] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 1 dic 2014, 1:48

Vicentio ha scritto:mi ha detto di utilizzare la formula di Heremit

Heremit non l'ho mai sentito. :(

Se invece è Hermite, allora prova questo link che può essere utile pag. 3:
http://garr2011.dma.unipi.it/saccon/DID ... ionali.pdf
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[6] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 dic 2014, 2:39

Vicentio ha scritto:la formula di Heremit

Hermite si è trasferito in punta ad una montagna perché voleva stare solo? :mrgreen:

Scherzo :D

Anyway, questo thread mi è utile per mostrare un tool per il matematico cool.
Quando si hanno delle funzioni da integrare che sono delle potenze di integrali noti, si può cercare una formula di integrazione ricorsiva. Vado a spiegare il metodo, che usa l'integrazione per parti.
Il nucleo ricorsivo della nostra formula è:
\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x +c

Proviamo ad integrare per parti la funzione potenza n-esima del nostro nucleo ricorsivo:

\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x\ \ \ \ n \in \mathbb{N}

Assumo:

f^\prime(x)=1
da cui:
f(x)=x
e
g(x)=(1+x^2)^{-n}
da cui:
g^\prime(x)=-n(1+x^2)^{-n-1}2x

trovo che:

\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x=\frac{x}{(1+x^2)^n}+2n\int \frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}}\mathrm{d}x

da cui:

\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x=\frac{x}{(1+x^2)^n}+2n\int \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{n+1}}\mathrm{d}x


(1-2n)\int \frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x=\frac{x}{(1+x^2)^n}-2n\int \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\mathrm{d}x


\int \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\mathrm{d}x=\frac{2n-1}{2n} \int \frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x+ \frac{1}{2n}\frac{x}{(1+x^2)^{n}}

adesso "arretro" n di una posizione, in modo da avere una ricorsione comoda all'indietro:

\boxed{\int \frac{1}{(1+x^2)^{n}}\mathrm{d}x=\frac{2n-3}{2n-2} \int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\mathrm{d}x+ \frac{1}{2n-2}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}}

Nota: La formula non è in grado di risolvere il nucleo ricorsivo, per il quale la soluzione va trovata per altra via (basta provare a porre n=1 per rendersene conto).

Poniamo n=2, per esempio :mrgreen:

\int \frac{1}{(1+x^2)^{2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x+ \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2}

=\frac{1}{2}\arctan(x)+ \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2}+c

Vediamo anche il caso n=3

\int \frac{1}{(1+x^2)^{3}}\mathrm{d}x=\frac{3}{4} \int \frac{1}{(1+x^2)^{2}}\mathrm{d}x+ \frac{1}{4}\frac{x}{(1+x^2)^{2}}

\int \frac{1}{(1+x^2)^{3}}\mathrm{d}x=\frac{3}{4} \left[ \frac{1}{2}\arctan(x)+ \frac{1}{2}\ \frac{x}{1+x^2}\right ]+ \frac{1}{4}\frac{x}{(1+x^2)^{2}}+c

...

Per "srotolare" la formula ricorsiva e scriverne una diretta conviene usare le ipergeometriche, ma direi che qui non sia proprio il caso.

Ciao,
Pietro.
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[7] Re: Integrale di 1/(x^2+1)^2

Messaggioda Foto UtenteVicentio » 2 dic 2014, 20:07

GRAZIE!
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