Statistica (non più divina)

[angel99]

Nota di moderazione: visto quanto successo è stata cancellata la premessa per concentrarsi sul problema

Sia A l’insieme dei numeri naturali positivi, minori o uguali a un numero massimo stabilito



Quindi



Una volta fissato , con , la cardinalità dell’insieme A risulta un valore sconosciuto con probabilità



Stabiliamo ora una funzione scelta tale che



Si avrà quindi





La domanda è questa: come varia al succedersi delle scelte ?

Alla scelta , sappiamo per certo che per cui



Ma alla scelta e alle successive?

I miei colleghi si sono coalizzati nel ritenere valido solo l’ultimo sistema di equazioni, per qualsiasi numero di scelte, mentre io (tanto per cambiare) la penso in modo diverso. Ritengo infatti che ogni scelta aggiunga informazioni sulla cardinalità di A, indipendentemente dal fatto che il risultato di una scelta sia inferiore, uguale, o superiore a quello delle scelte precedenti.

La statistica mi è sempre stata un po’ antipatica, ma qui c’e di sicuro qualcuno a cui piace e che magari conosce già questo problema.

[Candy]

Per mia ignoranza non ho capito nulla. Ma detto in altri termini, cosa significa? Fai un esempio per favore, senza simbologia accademica.

[simo85]

La domanda è questa: come varia al succedersi delle scelte ?

Alla scelta , sappiamo per certo che per cui



Ma alla scelta e alle successive?

Quella che hai riportato dovrebbe essere una funzione di distribuzione.
Come varia direi che ce lo dice la derivata, ossia la funzione di densità della distribuzione.

Il tutto a salvo di papere e cantonate.

[angel99]

Non riesco a capire rispetto a cosa dovrei derivare. Mi sfugge il concetto. Poi ci penso, intanto ringrazio chi mi ha allineato le formule e faccio l'esempio di ghisa.

Abbiamo un sacchetto che può contenere un numero di palline variabile da 1 a 100. Ogni pallina è numerata da 1 al numero massimo contenuto. Nessun salto, nessuna duplicazione. Il sacchetto è chiuso, non si possono fare trucchi per conoscere il contenuto tipo peso, dimensioni o altro.

Quante palline ci sono nel sacco? Posso solo tirare a indovinare un numero da 1 a 100. Probabilità di beccarlo? 1%. Fino a qui mi pare di ghisa (appunto).

Estraggo una pallina. Numero 51. La rimetto nel sacco. Cosa so adesso? So per certo che nel sacco ci sono almeno 51 palline. Possono essercene da 51 a 100. Sono ancora costretto a tirare a indovinare, ma ora ho il 2% di probabilità di beccarlo. Il materiale non cambia, sempre ghisa è.

Estraggo una seconda pallina. E dalla ghisa si passa al tiramisù. Almeno per me.

Di certo posso dire che se dopo un numero quasi infinito di estrazioni non ho mai estratto una pallina con un numero superiore a 63, li dentro ci sono 63 palline (quindi i miei colleghi erano in errore). Mi piacerebbe vedere la soluzione analitica.

[simo85]

Abbiamo un sacchetto che può contenere un numero di palline variabile da 1 a 100 ...

No per favore i problemi delle palline no !

Non riesco a capire rispetto a cosa dovrei derivare. Mi sfugge il concetto.

Da quello che capisco io tu hai scritto una funzione di distribuzione dove è il dominio della variabile aleatoria , e ti sei chiesto come varia. Per definizione matematica si applica la derivata.

[angel99]

In realtà si tratta di una famiglia di funzioni di distribuzione dove l'indice i indica il numero di scelte effettuate. La prima funzione, prima di ogni estrazione, è una funzione costante. La seconda funzione, dopo la prima estrazione, è un gradino, è quella definita dalle due equazioni sopra. Ciò che mi chiedo è: ? O, ancora meglio, come si passa da a sapendo il valore della scelta .

[simo85]

Ciò che mi chiedo è: ? O, ancora meglio, come si passa da a sapendo il valore della scelta .

Se rappresentamo come la probabilità relativa alla scelta allora dovrebbe essere:



E questa dovrebbe essere una rappresentazione della funzione di distribuzione da te descritta:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ovviamente se la variabile è discreta non si può calcolare la derivata della funzione di distribuzione.

[angel99]

Ho l'impressione stiamo parlando di due cose differenti.

Semplificando l'esempio ad una cardinalità massima uguale a sei, con una certa macchinosità si possono fare i calcoli delle varie combinazioni per alcune scelte tipo. Vediamo cosa ne esce.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel grafico, in colore rosso c'è la situazione prima di alcuna scelta. E' ovvio che la probabilità sia la stessa per ogni possibile cardinalità da 1 a 6 e quindi ogni n ha p=1/6.

In colore blu abbiamo la situazione dopo la prima scelta con S=4. E' ovvio che i primi tre n cadono a zero e tutta la probabilità si distribuisce sui restanti, dato che ognuno di loro aveva pari probabilità di essere scelto. Da questo si ha p=1/3.

In colore giallo abbiamo la situazione dopo la seconda scelta, sempre con S=4. Ovviamente le cose cambiano. La probabilità di pescare due 4 consecutivi è diversa se nel sacco ci sono 4, 5 o sei palline. Facendo i calcoli (interminabili) si ottengono le probabilità indicate.

Questo è in accordo con quanto ci si potrebbe aspettare. Pescare due quattro di fila è un buon indice che nel sacco ci siano 4 palline, un po' meno che ce ne siano 5 e ancora meno che ce ne siano 6. Ovviamente nulli gli altri casi. Il massimo della serie di funzioni converge al risultato atteso.

L'approccio è ovviamente totalmente empirico, mentre sarebbe bello trovare le equazioni che regolano la faccenda.

Non riesco a trovare l'incastro per la tua equazione, ma forse è solo perché non mi sono spiegato bene.

[marco76]

nota moderazione: cancellato off topic

Secondo me hanno ragione i tuoi colleghi, anche se per moltissime volte estrai numeri più piccoli di 63 non vuol dire che puoi escludere che ci siano 100 palline. Quasi infinito è comunque poco rispetto ad infinito.
Almeno credo

[marco76]

Capito, comunque la penso ancora come i tuoi colleghi. Se ributti la pallina e riestrai non aggiungi informazione.