Dubbio esercizio su DIODO per piccoli segnali

[Arnaldo93]

Il circuito di riferimento per l'esercizio è il seguente:


Utilizzando il modello a caduta di tensione costante, vedendo che i diodi sono in polarizzazione diretta, si calcola la corrente Id che scorre sul resistore da 1kOhm e quindi anche sulla serie dei tre diodi. Essa risulta 7.9mA.
La resistenza di piccolo segnale in corrispondenza di ogni singolo diodo della serie è calcolata come Vt/Id = 25/7.9 = 3.2Ohm. Quindi la resistenza totale da sostituire alla serie di tre diodi nel modello per piccolo segnale è, chiaramente, 3*(3.2Ohm) = 9.6Ohm.
Tutto questo senza considerare un carico collegato.

Nel momento in cui si collega il carico, varia la corrente sulla serie di diodi. Infatti la tensione sui diodi è sempre 2.1V secondo il modello a caduta di tensione costante. Questa tensione si presenta anche sul resistore di carico da 1kOhm su cui quindi si genera una corrente di 2.1mA. La corrente sul resistore da 1KOhm non varia, dato che il potenziale al nodo sottostante rimane 2.1V, mentre alla corrente sulla serie di diodi viene sottratta la corrente del resistore di carico.

A questo punto sorge il mio dubbio. Quando si collega il carico, varia la corrente sulla serie dei diodi (quindi su ogni diodo). Ma non varia anche la resistenza di piccolo segnale (Vt/Id), dato che varia la Id al denominatore?

Sul libro dice
"Conseguentemente la corrente sui diodi decresce di 2.1 mA portando ad una diminuzione della tensione ai capi della serie dei diodi data da:


Non capisco perché, in questa formula, viene considerata la resistenza calcolata con la corrente sui diodi SENZA IL CARICO, quando il carico FA VARIARE LA Id AL DENOMINATORE della formula per la resistenza di piccolo segnale!!

Sono mesi che ci sbatto la testa e nonostante ho ripetuto i diodi fino allo sfinimento, questo problema non sono ancora riuscito a capirlo!
(Il libro è il Sedra Smith, 4a ed. italiana, 6a inglese -> esempio 3.6 a pagina 178)

[DarwinNE]

Beh, ho letto un po' in fretta, ma secondo me è normale che non capisci, se non hai capito bene cosa vuol dire adottare un modello linearizzato per un dispositivo nonlineare.

Mi spiego meglio: un diodo è un componente non lineare ed ad ogni calcolo che fai, vuoi evitarti di impazzire nei conti ottenendo un risultato comunque accettabile. Quindi, per facilitare le cose si fa finta che, per piccole variazioni attorno ad un punto di polarizzazione dato, il diodo possa essere linearizzato e quella resistenza che ottieni è in realtà il primo termine di un'espansione in serie di Taylor. Poi sta a te ed al tuo senso ingegneristico vedere fino a dove il modello è valido, ovvero ti fornisce valori in ragionevole accordo con l'esperienza (dove il "ragionevole" dipende dal contesto e da quello che cerchi). Ci sono naturalmente situazioni in cui quest'approccio è completamente sballato e fuori luogo.

Quando fai il calcolo con la nuova corrente, utilizzi il valore della resistenza che hai calcolato precedentemente perché consideri che il cambiamento è "piccolo" rispetto al punto di polarizzazione di 7,9mA. Ora, si potrebbe discutere se più di 1/4 della corrente totale sia effettivamente qualcosa di piccolo oppure no, ma il risultato che calcola il libro è in qualche modo una prima approssimazione. Potresti provare ad applicare correzioni iterative per vedere se nei conti convergi a quanto otterresti adottando un modello esponenziale per il diodo, se proprio vuoi spaccare il capello in quattro.

Poi in realtà le cose sono ancora più complicate, perché la caratteristica di un diodo non è sempre perfettamente esponenziale perché ci sono le resistenze di contatto, diversi meccanismi di trasporto nella giunzione a seconda della corrente di funzionamento, una forte dipendenza dalla temperatura eccetera. Puoi anche fare facilmente qualche prova in laboratorio, con un circuito così semplice.

Un modello non è mai perfettamente esatto, ma è il risultato di un'approssimazione fatta di un dispositivo fisico. Il tuo modello linearizzato ti permette di ottenere un'ordine di grandezza e spesso è quello che cerchi quando utilizzi dei circuiti del genere (che non sono molto precisi, per esempio a causa della dipendenza in temperatura).

[Arnaldo93]

Ok... credo di aver capito il ragionamento.
Cambia la corrente di polarizzazione del diodo da 7.9mA a 5.8mA (con una conseguente diminuzione di tensione). Si ha uno spostamento del punto di lavoro sulla caratteristica esponenziale del diodo molto "piccolo" tale da considerare come punto di lavoro per il modello per piccoli segnali ancora quello calcolato precedentemente alla precedente corrente (e quindi ancora la "vecchia" resistenza).

Ineffetti, calcolando la tensione, questa varia da 2.1V a 2.09V.

[Arnaldo93]

Ma perché si ha questa variazione di corrente (quindi di tensione) solo sulla serie di diodi?

[IsidoroKZ]

Cambia anche sul carico, ma essendo anche li` una piccola variazione si puo` usare il modello linearizzato.

Ci sono diversi modelli di diodo che puoi usare per fare i conti.

1) Tensione di diodo costante: la tensione di uscita non varia perche' i diodi rimangono in conduzione e questo modello prevede 0.7V fissi per ogni diodo e non ci sono variazioni in uscita.

2) Tensione di diodo variabile con la resistenza differenziale: e` circa quello che hai fatto tu, anche se fatto in modo "artigianale" qualche volta considerando la resistenza differenziale e qualche altra volta trascurandola.

3) Diodo modellato da tensione fissa piu` resistenza in serie (e` un modello lineare a tratti). Del tuo diodo sai che quando e` attraversato da 7.9mA ti da` una VD=0.7V. Inoltre sai anche che la sua resistenza differenziale vale 3.2ohm (peraltro non leggo bene la tensione di alimentazione e nel calcolo della resistenza differenziale dovrebbe anche esserci un fattore ).

Allora il modello lineare a tratti del diodo diventa

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La pendenza della retta del diodo e` di 1/3.2ohm e usi il modello localmente intorno al punto di lavoro. In questo caso puoi fare un equivalente Thevenin dei tre diodi, resistenza che li polarizza e tensione di alimentazione, e ottieni

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La resistenza e` scesa perche' c'e` in parallelo anche la R di alimentazione da 1kohm. La tensione a vuoto e` quella dei tre diodi che conducono. A questo circuito equivalente colleghi il tuo carico e vivi felice, trovi la tensione effettiva sui diodi e quella sul carico e` ancora quella sui diodi, non si fanno approssimazioni circuitali se non sul modello del diodo.

4) Ultimo modo non e` piu` un esercizio di piccolo segnale, e` una analisi non lineare. Dal circuito originale, quello in cui ti dicono che la tensione su ogni diodo e` di 0.7V e la corrente e` di 7.9mA trovi i parametri del modello non lineare del diodo, supponendo ad esempio di essere a temperatura ambiente. Non metto il fattore perche' pare che sul tuo libro non sia considerato.

da cui si ottiene . Ora che si ha il modello del diodo, di cerca l'equivalente Thevenin di tutto quello che c'e` fuori dai diodi, compresa la resistenza di carico, e si ha la parte sinistra di questo schema, cui si collegano i tre diodi (parte destra del disegno) che sono caratterizzati da un modello esponenziale con e .

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Fai una equazione alla maglia con la corrente come incognita e ottieni



Questa e` una equazione non lineare risolvibile solo in forma numerica, ad esempio puoi ricavare ID come funzione di se' stessa e iteri. La corrente nei diodi viene 5.85mA, la tensione sui diodi e quindi sull'uscita e` di 2.076V.

Questa tensione e` da confrontare con quella che si ottiene dal metodo 3, e differisce di pochi millivolt.