Identità vettoriale poco chiara

[spud]

Ciao
Ho un problema di trialterazione nello spazio tridimensionale, in sostanza ho 4 punti di coordinate note e conosco le distanze tra questi e un punto di coordinate incognite.

Ho pensato di risolvere il problema trovando l'intersezione tra le 4 sfere centrate sui punti noti e raggio pari alla distanza tra questi e il punto incognito, però mi viene un bel sistemone di grado elevato. Allora cercando su google mi sono imbattuto in questa risposta che hanno dato a una domanda simile alla mia su mathexchange. Però non riesco a capire.

n sostanza chiama le coordinate dei punti noti e le distanze tra questi e il punto incognito con . E fin qui ok, poi dice:



e anche fin qui ok, ma poi fa:



dicendo che in questo modo ottiene un sistema lineare, non riesco a capire come passa dalla prima forma alla seconda, c'è qualche identità vettoriale che mi sta sfuggendo?

Grazie

[IsidoroKZ]

Scrivi la prima equazione una volta per i=0 e una per i=1: ottieni due equazioni: sottrai una dall'altra e hai quella che ti hanno dato come soluzione. Cosi` facendo elimini i termini quadratici dell'incognita.

Poi fai la stessa cosa con l'equazione con i=0 meno l'equazione con i=2 e infine la terza coppia i=0 e i=3 e hai tre equazioni lineari.

Cerca anche il metodo di calcolo usato per il GPS, potrebbe darti qualche buona idea.

[spud]

Grazie mille! Ora provo con carta e penna e vediamo cosa esce

[spud]

Yes torna, però facendo i conti mi sono accorto che la seconda equazione non era congruente con la notazione usata, cioè al posto di c'era , ora l'ho corretta.

Grazie ancora