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Ramanujan e l'infinito

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 19 lug 2015, 10:32



1-2+3-4+5-6+... +
1-2+3-4+5-... =
1-1+1-1+1-1+... = 0.5

Da cui: 1-2+3-4+5-6+... = 0.25

E se facessi così?

1-2+3-4+5-6+... = 1+(-2+3)+(-4+5)+... = 1+1+1+1+1+... = 0.25
1-2+3-4+5-6+... = (1-2)+(3-4)+(5-6)+... = -1-1-1-1-1-... = 0.25

0.25 = -0.25 :?: :-|
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[2] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto Utentesebago » 19 lug 2015, 12:24

Biagio, non esagerare con le birrette :mrgreen:
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[3] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 19 lug 2015, 12:48

Dici che è l'alcol eh? :-P
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[4] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 19 lug 2015, 13:33

L'assoluta convergenza sarebbe tua amica per conservare le proprietà commutative della somma :mrgreen:
Tempo fa avevo trovato un articolo che parlava di una generalizzazione del concetto di limite per una serie non assolutamente convergente. Purtroppo non riesco più a trovarlo :(
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[5] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 19 lug 2015, 13:44

Puoi spiegarti meglio? :-)
Qui ho usato solo l'associativa :-k
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[6] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 19 lug 2015, 13:50

Questo :).
Le proprietà di associatività e commutatività che contraddistinguono la somma nei numeri naturali non valgono necessariamente per le somme infinite :).
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Qualcosa non ha funzionato...

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[7] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtenteIanero » 19 lug 2015, 14:05

Che bello!
Grazie! :D
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[8] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 21 lug 2015, 11:18

Eh, mannaja, devo mettermi davvero a fare il thread sulle funzioni speciali. Ce n'è bisogno.

La dimostrazione del filmato è errata e basta, ma il risultato è forse giusto :D

Come già detto le proprietà usuali dell'aritmetica valgono solo se la somma è assolutamente convergente, condizione che è sempre verificata se la somma comprende un numero finito di termini, ragion per cui i matematici non se ne sono accorti finché non hanno pensato alle serie.

Eulero fu il primo a ipotizzare che il concetto di somma andasse cambiato, ma dimostrò \sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12} facendo alcuni errori (su cose che all'epoca non erano ancora chiarite).

Il problema è che il destino di Eulero era quello di avere ragione anche quando aveva torto, perché la estensione della funzione zeta di Riemann calcolata in -1 (la funzione zeta di Riemann è definita come \zeta(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}, quindi ponendo z=-1 ottengo la somma di tutti i naturali) fa proprio... -1/12 :!:

Inoltre la somma è estendibile Cesaro sommabile e Ramanujan è arrivato allo stesso risultato per altre vie.

Non si ha ancora una spiegazione chiara del perché succeda questo, ma la formula è comunque usata in alcuni campi della fisica, per esempio per l'effetto Casimir e in QED restituendo risultati verificabili.

Finché non capiremo bene la funzione zeta di Riemann non avremo una risposta chiara.

Qui avete un riferimento.
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[9] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto Utentesebago » 21 lug 2015, 17:16

PietroBaima ha scritto:\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}

COSA?
ma per n si intendono proprio i numeri naturali? E quel \sum indica proprio la somma?
:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:
Per favore dite subito che ho preso fischi per fiaschi o mi viene un coccolone!
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[10] Re: Ramanujan e l'infinito

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 21 lug 2015, 17:50

sebago ha scritto:COSA?

ho paura di sì.

sebago ha scritto:ma per n si intendono proprio i numeri naturali?

ho paura di sì.

sebago ha scritto:E quel \sum indica proprio la somma?

ho paura di sì.

Guarda:
zeta.jpg


con

\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}

(e se lo dice Mathematica, che è parente di Wolfram Alpha... :mrgreen: )

Abbiamo anche che:

\zeta(-2)=\sum_{n=1}^{\infty} n^2=0 :!:

\zeta(-5)=\sum_{n=1}^{\infty} n^5=-\frac{1}{252}

\zeta(-6)=\sum_{n=1}^{\infty} n^6=0 :!:

\zeta(-8)=\sum_{n=1}^{\infty} n^8=0 :!:

Però consolati, quanto fa

\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}

non lo sa nessuno, e per trovare che

\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

ci si è dovuto pensare MOLTO.

;-)
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