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[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 15 ott 2015, 23:00

In ricerca operativa si studiano queste cose. Alcune riesco a capirle bene altre no. L'indipendenza lineare è una di queste.
Dalle dispense:
Dato un insieme di k vettori S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n} si dice che un vettore w è una combinazione lineare dei vettori di S se esistono k coefficienti x_{1},x_{2},...,x_{k} \in \mathbb{R} per cui risulta
\mathbf{w} = x_{1} \mathbf{v_{1}} + x_{2} \mathbf{v_{2}} +\cdot \cdot \cdot +x_{k} \mathbf{v_{k}}

E fin qui tutto bene. Poi
I vettori di un insieme S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n} sono detti tra loro linearmente indipendenti se
\sum_{j=1}^{k}x_{j} \mathbf{v}_{j}=0=x_{1}=x_{2}=\cdot \cdot \cdot =x_{k}=0

Ecco, questa proprio non riesco a capirla, non riesco a capirne il senso. Ho questi vettori colonna che sono i coefficienti di questa combinazione lineare, e questi sono linearmente indipendenti se tutto l'ambaradan vale 0? :shock:
Ma che diamine significa?
A me sembra assurdo.

Spero che qualcuno mi aiuti a fare chiarezza perché qui mi sono impantanato completamente. :(
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[2] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 15 ott 2015, 23:08

Significa che l'unico modo per far si che una composizione lineare di vettori linearmente indipendenti faccia zero sia che le componenti x_i siano tutte zero. Ovvero non puoi scrivere un vettore v_j nell'insieme come una composizione lineare degli altri vettori.
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[3] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 15 ott 2015, 23:12

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[4] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 15 ott 2015, 23:13

\mathbf{v_1} = (1,0,1) \mathbf{v_2} = (0,1,0) \mathbf{v_3} = (2,1,2)
Si ha che \mathbf{v_3} non è linearmente indipendente perché esiste una combinazione lineare x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2}= x_3\cdot \mathbf{v_3} con cui si può ricavare. In particolare per x_1=2, x_2=1, x_3=1.
Questo è chiaro?
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[5] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 15 ott 2015, 23:19

Ora considera:
\mathbf{v_1} = (1,0,1) \mathbf{v_2} = (0,1,0) \mathbf{v_3} = (2,2,0)
Si ha che \mathbf{v_3} è linearmente indipendente perché esiste non una combinazione lineare x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2} per cui si ottenga \mathbf{v_3}. In particolare si può dire che
x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2} = x_3  \cdot \mathbf{v_3} si ha solo quando x_1 = x_2 = x_3 = 0. Questo caso se noti è sempre possibile per questo non è utile nel capire se dei vettori siano o meno linearmente indipendenti. Essendo l'unica soluzione possibile diciamo che \mathbf{v_3} è linearmente indipendente.
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[6] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utenteboiler » 15 ott 2015, 23:21

Sei sicuro della notazione? Non che sia sbagliata, ma si può dire meglio (secondo me):

TardoFreak ha scritto:I vettori di un insieme S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n} sono detti tra loro linearmente indipendenti quando
\sum_{j=1}^{k}x_{j} \mathbf{v}_{j}=0 \iff x_{1}=x_{2}=\cdot \cdot \cdot =x_{k}=0


Il succo è lo stesso, ma magari capisci meglio il senso della definizione.

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[7] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 15 ott 2015, 23:23

Ed è anche più corretta formalmente. Altrimenti stabiliamo un'uguaglianza tra uno zero vettoriale e uno zero scalare. Per carità cambia poco però non è molto elegante. :mrgreen:
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[8] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 15 ott 2015, 23:29

fairyvilje ha scritto:\mathbf{v_1} = (1,0,1) \mathbf{v_2} = (0,1,0) \mathbf{v_3} = (2,1,2)
Si ha che \mathbf{v_3} non è linearmente indipendente perché esiste una combinazione lineare x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2}= x_3\cdot \mathbf{v_3} con cui si può ricavare. In particolare per x_1=2, x_2=1, x_3=1.
Questo è chiaro?

No. Non mi sono chiari:
Perché x_1=2, x_2=1, x_3=1?

In generale forse avrei bisogno di una spiegazione molto dettagliata, passo per passo, quasi pedante.
Scusatemi ma sono limitato.
Sicuramente tutto quello che avete scritto (e vi ringrazio tantissimo per questo) è giusto ma, come detto prima, avrei bisogno di una spiegazione a misura di deficiente (cioè io).
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[9] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 15 ott 2015, 23:31

2\cdot(1,0,1)+1\cdot(0,1,0)=1\cdot(2,1,2)
(2,0,2)+(0,1,0)=(2,1,2)
(2,1,2)=(2,1,2)
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[10] Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

Messaggioda Foto UtenteTardoFreak » 15 ott 2015, 23:38

Uhm, vediamo un po'
Hai cercato (o in qualche modo calcolato) un valore per x_{1} e per x_{2} in modo da eguagliare x_{3}?
Ed avendolo trovato questo ti ha fatto dire che \mathbf{v_{3}} non è linearmente indipendente?
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