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Sulla diffusione di Rayleigh

Leggi e teorie della fisica

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[1] Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 9 gen 2016, 18:57

Salve a tutti, sto studiando le nozioni basilari di optoelettronica e mi trovo in difficoltà sull'argomento iniziale riguardante la legge di Raylegh.
Purtroppo le lezioni del corso sono state tenute "alla meno peggio" con dei lucidi molto approssimativi, di cui nessuno di noi seguenti è in possesso.
Non ci è stata data neanche un bibliografia per andare a ricercare gli argomenti trattati. In sostanza mi ritrovo ad affrontare una materia nuova senza alcun riferimento da seguire e con degli appunti pessimi.
Mi scuso quindi in anticipo per gli sfondoni che quasi sicuramente scriverò.

Dunque, vengo al punto. Ho provato a risistemare gli appunti, però come risultato trovo un paio di contraddizioni da risolvere. Provo a esporre quanto ho capito fin ora.


Legge di Rayleigh

Quando un'onda elettromagnetica incide su di un corpo questa subisce una attenuazione che obbedisce alla legge di Lambert-Beer-Bouguer

I(x)=I_0 \exp(-\alpha x)

dove

  • I(x) indica l'intensità dell'onda (in radiometria misurata in \text{W} \text{sr}^{-1}) ad una data distanza x dall'interfaccia tra il mezzo di propagazione e il corpo;
  • I_0 è l'intensità dell'onda all'interfaccia;
  • \alpha è il coefficiente di attenuazione associato al corpo investito dall'onda.
il coefficiente di attenuazione è dato da

\alpha=\alpha_A+\alpha_D

dove

  • \alpha_A è il coefficiente di assorbimento, proporzionale a \nu^2 (con \nu frequenza dell'onda incidente), che tiene conto della porzione di in energia elettromagnetica dell'onda convertita in calore;
  • \alpha_D è il coefficiente di diffusione (o di scattering), proporzionale a \nu^4.
la dipendenza di \alpha_D dalla potenza quarta della frequenza dell'onda è la legge di diffusione di Rayleigh.


Diffusione

Detta \lambda la lunghezza dell'onda incidente e D il diametro delle particelle che costituiscono il corpo investito dalla radiazione si ha che

  • se \lambda \ll D allora il fenomeno dominante è l'assorbimento (e riflessione) dell'onda;
  • se \lambda \approx D allora il fenomeno dominante è la diffusione dell'onda;
  • se \lambda \gg D allora il corpo risulta trasparente all'onda.



Qua c'è la prima contraddizione, in quanto in base a quanto detto riguardo il coefficiente di attenuazione si ha che in alta frequenza conta la diffusione mentre in bassa frequenza conta l'assorbimento.
Il problema si risolverebbe se fosse vero che il coefficiente di assorbimento dipende dalla frequenza secondo una potenza di esponente maggiore di quattro.


Banda ottica di un fotorivelatore

L'energia radiante associata ad un'onda elettromagnetica, misurata in \text{J}, costituita da N "fasci" [è il termine giusto?] di fotoni di frequenza distinta , è data da

Q= h \sum_{i=1}^N n_i \nu_i

dove

  • h è la costante di Plank;
  • n_i è il numero di fotoni che costituisco il fascio luminoso di frequenza nu_i.

in particolare, quando l'onda è costituita da un unico fotone la precedente relazione si riduce alla seguente

Q=h\nu

Conseguentemente il flusso (o potenza) radiante dell'onda, in \text{W}, è dato da

\Phi=\frac{\text{d}Q}{\text{d}t}

Quando un fotorivelatore (connesso opportunamente in un circuito elettrico) è investito da una radiazione questo può rispondere generando una corrente elettrica continua. L'intensità I_\text{out} di tale corrente, in \text{A}, quando il fotorivelatore è investito da un'onda monocromatica, è descritta dall'equazione base dei fotoconduttori

I_\text{out}=q \eta P_\lambda \frac{\mu V }{h c L^2} \lambda \qquad(1)

dove

  • q è la carica dell'elettrone;
  • \eta tiene conto del rendimento del fotorivelatore [è l'efficienza quantica?], nel senso che quantifica il fatto che solo una parte dei fotoni assorbiti generano carica elettrica (i restanti vengono trasformati in calore);
  • P_\lambda=\Phi|_{\nu=c/\lambda} è la potenza dell'onda monocromatica;
  • \mu è la mobilità degli elettroni;
  • V è la tensione a cui è sottoposto il fotorivelatore;
  • c è la velocità della luce;
  • L=\mu E t_r è una lunghezza legata al campo elettrico E interno al fotorivelatore e il tempo di attraversamento t_r [cosa indica il pedice?] impiegato dai portatori di carica per attraversare il fotorivelatore.

La (1) è valida fintanto che la potenza ottica incidente è sufficiente per generare portatori di carica liberi nel fotorivelatore. Più precisamente, detta E_G l'energy gap associata al materiale costituente il fotorivelatore, l'equazione (1) è valida se risulta verificata la condizione

h\nu \geq E_G

da cui si deduce che il fotorivelatore è in grado di risolvere radiazioni di lunghezza d'onda

\lambda \leq \frac{h c}{E_G} \qquad(2)

Si conclude quindi che la caratteristica corrente/lunghezza d'onda di un fotorivelatore, che descrive la sua banda ottica, è la seguente



L'andamento lineare è dovuto dalla (1), la soglia superiore dalla (2) mentre la soglia inferiore dalla legge di Rayleigh.

Ancora il discorso non torna. Secondo il ragionamento riguardante la diffusione arrivo a concludere nuovamente che (in accordo alla (2)) esiste una soglia superiore, dovuta ancora al fatto che al di sopra di una certa \lambda_\text{max} un qualsiasi fotorivelatore non riesce ad assorbire potenza dalla radiazione incidente.
Niente giustifica l'esistenza di una soglia inferiore \lambda_\text{min}.


Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
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[2] Re: Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 9 gen 2016, 19:56

Gost91 ha scritto:Niente giustifica l'esistenza di una soglia inferiore \lambda_\text{min}.


Non ho ancora letto bene tutto, ma parto di qui.

In un fotorivelatore, la rivelazione avviene in genere in un volume limitato del dispositivo, sotto la superficie esposta. Pensa per esempio a un fotodiodo: la zona di rivelazione è poco più estesa --un paio di lunghezze di ricombinazione-- della zona di svuotamento. I fotoni prima di arrivare alla zona di rivelazione devono attraversare un tratto di semiconduttore dove, se assorbiti, genererebbero una coppia elettrone-lacuna che si ricombinerebbe senza generare segnale utile. Più piccola la lunghezza d'onda, maggiore è la probabilità che un fotone venga assorbito nella zona non attiva del fotorivelatore: per piccole lunghezze d'onda l'efficienza quantica diminuisce drasticamente.
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[3] Re: Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 10 gen 2016, 18:10

Ciao DD, innanzi tutto ti ringrazio per l'interessamento.

Foto UtenteDirtyDeeds ha scritto:Più piccola la lunghezza d'onda, maggiore è la probabilità che un fotone venga assorbito nella zona non attiva del fotorivelatore


Il discorso mi è familiare, abbiamo parlato a lezione di qualcosa del genere quando, appunto, abbiamo trattato i fotodiodi. Ne approfitto per mettere altra carne al fuoco, dato che anche questo è un argomento molto nebbioso. Provo a esporre quanto ho capito (sperando di non dilungarmi troppo) per poi riallacciarmi alla tua spiegazione.

Si distinguono due classi di fotodiodi [a mio parere sarebbe più corretto parlare di classi di funzionamento per fotodiodi]:

  • fotodiodi alimentati [che brutto nome...]: credo si intenda "fotodiodi passivi" (assorbono potenza quando collegati in un opportuno circuito elettrico), credo che il loro utilizzo sia prettamente quello "fotodiodo ad alte prestazioni", spiego qua sotto quello che ho capito al riguardo;
  • fotodiodi fotovoltaici: credo si intenda "fotodiodi attivi" (erogano potenza quando collegati in un opportuno circuito elettrico), credo utilizzati come generatori di corrente continua pilotati in flusso radiante.

Da un punto di vista "materiale" non cambia niente tra le due classi, si parla sempre di giunzioni pn (magari con qualche particolare accorgimento per enfatizzare l'effetto fotoconduttivo). La differenza consiste nella zona di funzionamento della caratteristica tensione/corrente adottata.


In particolare:

  • il primo quadrante non viene utilizzato per la bassa sensibilità corrente(tensione)/luce (=distanza curve a luminosità costante) rispetto alla sensibilità che si ha nel terzo quadrante;
  • il secondo quadrante chiaramente non viene utilizzato in quanto in tale regione i fotodiodi non rispondono con alcuna corrente;
  • il terzo quadrante viene utilizzato per rivelare luce, la sensibilità corrente/luce cresce al crescere della tensione di contropolarizzazione;
  • il quarto quadrante viene utilizzato per convertire potenza ottica in potenza elettrica, la sensibilità corrente/luce è massima quando il fotodiodo è cortocircuitato.

Dalla caratteristica si nota che la sensibilità corrente/luce è maggiore nel terzo quadrante rispetto al quarto, per questo i fotodiodi alimentati sono fotodiodi"ad alte prestazioni".

Mettendosi nella regione alimentata, la maggiore sensibilità si spiega osservando che maggiore è la tensione di contropolarizzazione e maggiore è l'estensione della regione di svuotamento.



Nella zona di svuotamento, al contrario delle due restanti zone del diodo, è presente un campo elettrico.
Supponendo che i quattro fotoni Qi siano assorbiti generando coppie elettroni/lacune, si ha che le cariche generate da Q2 e Q3 vengono separate dal campo elettrico al contrario di quelle generate da Q1 e Q4.
Conseguentemente nella zona di svuotamento si ha una minore probabilità di ricombinazione, anche perché in tale zona non è presente carica libera.
In sostanza, maggiore è l'estensione della zona di svuotamento e maggiore è la probabilità di fotogenerare portatori di carica, i quali contribuiscono a formare la corrente di uscita del diodo.

Il discorso mi sembra molto simile al tuo, però ancora non lo riesco a ricollegare grafico I/λ in [1].

I fotoni prima di arrivare alla zona di rivelazione devono attraversare un tratto di semiconduttore dove, se assorbiti, genererebbero una coppia elettrone-lacuna che si ricombinerebbe senza generare segnale utile.


La parola chiave attraversare si collega bene alla precedente legge di assorbimento in [1]: il potere di penetrazione è tanto minore quanto è più lunga l'onda del segnale luminoso incidente, magari a lezione intendevano (molto maldestramente) che in questo modo la legge di Rayleigh determina la soglia inferiore.

Non comprendo bene la geometria del ragionamento, me la potresti spiegare un po' più esplicitamente, mostrando quali sono le zona attive e non attive di un fotodiodo?
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[4] Re: Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 11 gen 2016, 0:46

Gost91 ha scritto:Si distinguono due classi di fotodiodi


No, sono zone, regioni o modi di funzionamento, non classi. Uno stesso fotodiodo può lavorare in modi differenti, a seconda del circuito a cui è collegato (v. anche questa risposta di Foto UtenteDarwinNE e questa mia).

Gost91 ha scritto:il primo quadrante non viene utilizzato per la bassa sensibilità corrente(tensione)/luce (=distanza curve a luminosità costante) rispetto alla sensibilità che si ha nel terzo quadrante;


Il primo quadrante non viene utilizzato perché, soprattutto, è uno spreco di potenza. Però si può lavorare sull'asse i_\text{D} = 0 se si vuole una risposta logaritmica (v. qui di nuovo).

Gost91 ha scritto:il secondo quadrante chiaramente non viene utilizzato in quanto in tale regione i fotodiodi non rispondono con alcuna corrente;


Meglio: la caratteristica del fotodiodo non passa per il secondo quadrante, e quindi in quel quadrante il fotodiodo non può lavorare.

Gost91 ha scritto:il terzo quadrante viene utilizzato per rivelare luce, la sensibilità corrente/luce cresce al crescere della tensione di contropolarizzazione;


No, la sensibilità è sempre la stessa, praticamente non varia con la polarizzazione inversa. La polarizzazione inversa viene utilizzata per migliorare la velocità di risposta, diminuendo la capacità di giunzione, e per allargare la zona lineare, a scapito, però, di offset e rumore (v. quest'altro messaggio).

Gost91 ha scritto:il quarto quadrante viene utilizzato per convertire potenza ottica in potenza elettrica, la sensibilità corrente/luce è massima quando il fotodiodo è cortocircuitato.


Se il fotodiodo è cortocircuitato non eroga potenza ;-) La condizione di cortocircuito, inglobala nella modalità precendente.

Nel terzo quadrante, con v_\text{D}\le 0, il fotodiodo opera in modalità fotoconduttiva. Nel quarto quadrante, in modalità fotovoltaica.

Gost91 ha scritto:Il discorso mi sembra molto simile al tuo, però ancora non lo riesco a ricollegare grafico I/λ in [1].


Innanzitutto, hai capito come ricavare l'equazione della responsività di un fotodiodo?

Poi, il motivo per cui non riesci a capire perché alcuni fotoni vengono assorbiti in una zona non sensibile, è che tu disegni un fotodiodo che non esiste ;-) I fotodiodi sono fatti con tecnologia planare, quindi la luce non arriva lateralmente come l'hai disegnata tu (adesso è un po' tardi per farti il disegno, domani se riesco): prima di arrivare alla zona di svuotamento, i fotoni devono attraversare la zona p.
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[5] Re: Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 11 gen 2016, 13:48

No, sono zone, regioni o modi di funzionamento, non classi.

Appunto. In questo modo la terminologia suona decisamente meglio.

Uno stesso fotodiodo può lavorare in modi differenti, a seconda del circuito a cui è collegato (v. anche questa risposta di Foto UtenteDarwinNE e questa mia).

Servito e riverito, ottime spiegazioni.

Il primo quadrante non viene utilizzato perché, soprattutto, è uno spreco di potenza.

Sarò molto conciso nella domanda: perché è uno spreco di potenza? :mrgreen:
Intendi che è uno spreco di potenza ottica? Nel senso, anche per potenze ottiche molto grandi la risposta del diodo resta approssimativamente la stessa a parità di punto di lavoro?

Meglio: la caratteristica del fotodiodo non passa per il secondo quadrante, e quindi in quel quadrante il fotodiodo non può lavorare.

Perfetto.

No, la sensibilità è sempre la stessa, praticamente non varia con la polarizzazione inversa

Sono stato un po' impreciso, intendo che, per come sono le curve caratteristiche, per tensioni di contropolarizzazione piccole la sensibilità si riduce considerevolmente. La sensibilità ottima si trova per tensioni di contropolarizzazione grandi, e questa si stabilizza a partire da una certa soglia minima.

La polarizzazione inversa viene utilizzata per migliorare la velocità di risposta, diminuendo la capacità di giunzione, e per allargare la zona lineare, a scapito, però, di offset e rumore (v. quest'altro messaggio).

Servito&Riverito2.0

Se il fotodiodo è cortocircuitato non eroga potenza ;-) La condizione di cortocircuito, inglobala nella modalità precendente.

Certo, date le pseudodefinizioni di funzionamento fotoconduttivo e fotovoltaico. My bad.

Nel terzo quadrante, con v_\text{D}\le 0, il fotodiodo opera in modalità fotoconduttiva. Nel quarto quadrante, in modalità fotovoltaica.

Sono d'accordo.

Innanzitutto, hai capito come ricavare l'equazione della responsività di un fotodiodo?

Mi togli le parole di bocca. Questa è un'altra nota dolente che volevo tirare in ballo più tardi.
Quando l'abbiamo ricavata ho avuto l'impressione più di essere alla sagra del bardiccio di Pontassieve che ad una lezione universitaria tenuta da una professoressa ordinaria.

Dunque, la risposta più adatta alla tua domanda è MAGARA.
Riporto i miei risultati, sicuramente confonderò il significato di molti termini adottati e non seguirò l'ordine più naturale per giungere al risultato.

Si adottano le seguenti convenzioni



Si definisce il guadagno del fotorivelatore come

G \equiv I_\text{out}/ I_\text{ph}

dove

  • I_\text{out} è l'intensità della corrente di uscita anodica;
  • I_\text{ph} è l'intensità della corrente fotogenerata.

a causa di meccanismi di ricombinazione e di amplificazione (ad esempio l'effetto valanga) si ha che in genere I_\text{out} \neq I_\text{ph}, ossia G \neq 1.

A questo punto si ricava quella da noi chiamata (come in [1]) equazione base dei fotoconduttori.

Fissando come istante iniziale t=t_0, la densità spaziale di carica libera n nel fotorivelatore segue la legge

n(t)=n_0 \exp (-t/\tau) \qquad(1)

dove

n_0 \equiv n(t_0) è la densità di carica spaziale iniziale;
\tau è il tempo di vita medio dei portatori di carica [giusto?].

in base alla precedente relazione si ha che

I_\text{ph}(t)=q \frac{\text{d}n(t)}{\text{d}t}DWL=q \frac{n(t)}{\tau} DWL \qquad(2)

il flusso radiante attraverso il fotorivelatore obbedisce ad una legge analoga a quella della densità spaziale di carica libera

\Phi (x) = \Phi_0 \exp (-\alpha x)

dove \Phi_0 \equiv \Phi (0) è il flusso attraverso la superficie superiore del fotorivelatore.

Dalla precedente relazione si ha che

\eta (x) = \Phi (x) / D [la dipendenza da 1/D non l'ho capita, e poi a naso, dato che dovrebbe essere adimensionale, mi verrebbe più da dire che dipende direttamente da D...]

L'equazione (1), comprendendo il fattore di non idealità \eta, si riscrive quindi come

\begin{aligned} 
n(x;t) &=\eta(x) n_0 \exp(-t/\tau) \\
&=\frac{\Phi_0\exp(-\alpha x)}{D} n_0 \exp(-t/\tau) \\
&=n_0 \frac{\Phi_0}{D} \exp[-(\alpha x + t/\tau)]
\end{aligned}

conseguentemente la (2) diventa

\begin{aligned} 
I_\text{ph} (x;t) &= q \frac{n(x;t)}{\tau}DWL \\
&=q \frac{n_0 (\Phi_0 / D) \exp[-(\alpha x + t/ \tau)]}{\tau} DWL \\
&=q n_0 \Phi_0\frac{\exp[-(\alpha x + t/ \tau)]}{\tau}WL
\end{aligned}

ora, il termine

N_\lambda(x;t) \equiv \Phi_0\frac{\exp[-(\alpha x + t/ \tau)]}{\tau}

per le sue dimensioni, rappresenta il numero totale di fotoni per unità di tempo che, fluendo nell'istante t la sezione WL del fotodiodo a quota x, contribuiscono alla generazione di carica libera. Tale numero è dato anche dalla seguente relazione

N_\lambda=\frac{P_\lambda \lambda}{hc}

dunque

I_\text{ph} (x;t)=q n_0 \frac{P_\lambda \lambda}{hc} WL \qquad (3)

Si procede adesso determinando l'espressione del guadagno del fotodiodo, per poi determinare finalmente l'espressione della corrente di uscita.

Se E è l'intensità del campo elettrico interno al fotorivelatore, si ha che

I_\text{out} (t) =q n(t) \mu E WD

quindi, dalla precedente relazione e la (2) si ha che

G=\mu E \frac{\tau}{L}=\mu V \frac{\tau}{L^2}

sfruttando ora la (3), dato che

I_\text{out}=G I_\text{ph}

si conclude che

\boxed{I_\text{out}= q n_0 P_\lambda \frac{\mu V}{hc L} \tau W \lambda}

come volevasi NON dimostrare, dato che è un risultato diverso da quello riportato in [1].
(a meno che sia definita una seconda efficienza \eta'=n_0 \tau W).

Poi, il motivo per cui non riesci a capire perché alcuni fotoni vengono assorbiti in una zona non sensibile, è che tu disegni un fotodiodo che non esiste ;-)


Proprio quello che sospettavo.

adesso è un po' tardi per farti il disegno, domani se riesco


Te ne sarei molto grato (non che non lo sia già ora per il tuo contributo...).
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[6] Re: Sulla diffusione di Rayleigh

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 13 gen 2016, 0:10

Ho riflettuto su quanto scritto in precedenza, e probabilmente qualche problema l'ho risolto. Scrivo per coloro che stanno seguendo il thread, sempre nella speranza di non introdurre nuovi problemi.

Per prima cosa, in accordo da quanto scritto da Foto UtenteDarwinNE, in [3] non è corretta la polarità della corrente di uscita. Infatti, considerando V come tensione di polarizzazione diretta del diodo, necessariamente la corrente di uscita deve essere entrante dall'anodo (o uscente dal catodo) del diodo. Se così non fosse, secondo la convenzione degli utilizzatori, nel primo e terzo quadrante il fotorivelatore sarebbe in modalità fotovoltaica (attiva) mentre nel secondo e quarto in modalità fotoconduttiva (passiva). Quindi mi correggo



Ora mi occupo della derivazione della responsività, cercando anche di riscriverla in modo più leggibile e ordinato, non mi soffermandomi sulle notazioni (salvo per precisazioni e nuovi termini). Ho un gran bisogno di togliermi da addosso la sugna.


------------------------------------------------DERIVAZIONE RESPONSIVITÀ-----------------------------------------------
Carica nel fotodiodo

Più propriamente di quanto scritto in [5], n indica il numero di portatori di carica per unità di volume presenti nella zona fotosensibile del diodo. Tale numero obbedisce sempre alla legge

n(t)=n_0 \exp(-t/\tau) \qquad(1)

iIl numero n' di portatori di carica presenti nella zona fotosensibile sarà pari alla precedente densità spaziale moltiplicata per il volume DWL della zona fotosensibile del diodo, quindi

n'(t)=n(t)DWL=n_0 \exp(-t/ \tau) DWL

tale quantità, se moltiplicata per la carica unitaria di ogni portatore, determina la carica totale K presente nella zona fotosensibile del diodo, quindi

K(t)=q n'(t)=q n_0 \exp(-t/ \tau) DWL \qquad (2)




Efficienza quantica

Secondo la legge di Lambert-Beer, detta \phi [non è potenza radiante!]la densità superficiale di flusso del numero di fotoni, si ha che

\phi (x) = \phi_0 \exp(-\alpha x)

conseguentemente, il numero totale di fotoni N_\lambda che fluiscono attraverso la sezione
WL posta alla profondità x è dato da

N_\lambda(x)= \phi (x) WL =  \phi_0 \exp(-\alpha x) WL

tra tutti questi fotoni solo una porzione pari alla efficienza quantica \eta genera carica libera. Questo significa che la carica totale K fotogenerata è determinata dalla relazione

K(x)=q \eta N_\lambda (x)=q \eta \phi (x) WL \qquad (3)




Ancora sulla carica nel fotodiodo

Naturalmente, in ogni istante e per ogni x compreso tra zero e D deve essere sussistere l'uguaglianza

K(x)=K(t) \equiv K (x;t)

quindi, considerando all'istante iniziale [che, per la (1), è t=0], dalla precedente uguaglianza si trova la seguente relazione

n_0=\eta\frac{\phi(x)}{D}

che permette di riesprimere la (2) come

K(x;t)=q\eta\frac{\phi(x)}{D} \exp(-t/ \tau) DWL=q\eta \chi (x;t)WL \qquad (4)

avendo definito

\chi(x;t)\equiv \phi(x)\exp(-t/\tau)



Corrente fotogenerata

La derivata rispetto al tempo della (4) definisce la corrente fotogenerata che fluisce all'interno del diodo, quindi si ha

I_\text{ph} (x;t) \equiv \frac{\partial K(x;t)}{\partial t} = q \eta \frac{\chi(x;t)}{\tau} WL \qquad (5)

Adesso, osservando che il numero di fotoni che contribuiscono alla generazione di carica, in termini di \chi, corrisponde a

N_\lambda (x;t)=\chi(x;t)WL

ma tale numero si può valutare anche come

N_\lambda=\frac{P_\lambda \lambda}{hc}

quindi, la (5), in base a queste due ultime relazioni, si riscrive finalmente come

I_\text{ph}= q \eta \frac{P_\lambda \lambda}{hc} \frac{1}{\tau} \qquad (6)




Guadagno

La corrente di uscita del diodo si valuta invece come

I_\text{out}=q \mu n(t) EDW

quindi, utilizzando la (5), il guadagno si determina come

G \equiv \frac{I_\text{out}}{I_\text{ph}}=\frac{q \mu n(t) EDW}{q \eta \frac{\chi(x;t)}{\tau} WL}=\mu\frac{ n(t)D}{\eta \chi(x;t)}\frac{\tau E}{L}

l'espressione si può semplificare, infatti se adesso si osserva, grazie ad alcune relazioni trovate in precedenza, che

\frac{n(t)D}{\eta \chi(x;t)}=\frac{n_0 \exp(-t/ \tau)D}{\eta \phi(x) \exp(-t/tau)}=
\frac{n_0 D}{\eta \phi(x)}=1

si può, molto più semplicemente, esprimere il guadagno come

G=\mu \frac{\tau E}{L} \qquad (7)

o, in termini di ddp ai capi del diodo, come

G=\mu \frac{\tau V}{L^2}




Corrente di uscita

Finalmente si può determinare l'espressione della corrente di uscita in funzione del guadagno e della corrente fotogenerata. Dalla definizione di guadagno, la precedente relazione e la (6) si ha che

I_\text{out}=G I_\text{ph}=\mu \frac{\tau V}{L^2}q \eta \frac{P_\lambda \lambda}{hc} \frac{1}{\tau}

ossia

\boxed{I_\text{out}= q \eta \frac{q \mu}{hcL^2} V P_\lambda \lambda}

o, in termini di responsività, analogamente

\mathcal{R}(\lambda)=q \eta \frac{q \mu}{hcL^2} V \lambda

come volevasi dimostrare in [5].




Un'osservazione sul guadagno

Riprendendo in considerazione la (7), si può osservare che

G=\mu \frac{\tau E}{L}=\mu \frac{\tau E}{\mu E t_r}=\frac{\tau}{t_r}

Il guadagno è direttamente proporzionale al tempo di vita medio dei portatori di carica e inversamente proporzionale al tempo di attraversamento della zona fotosensibile del diodo. Questo credo si possa interpretare in termini di probabilità: maggiore è \tau o minore è t_r, minore è la probabilità che un portatore si ricombini durante il suo moto verso il catodo e che quindi non contribuisca alla corrente di uscita.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




A questo punto, non per fare l'insistente, tornerei volentieri sulle questioni sollevate in [1], in particolare sulla legge di assorbimento.
Mi farebbe molto piacere sapere se è corretto quanto ho scritto riguardo il coefficiente di assorbimento e, nel caso, sapere se il primo grafico è corretto e quale è la legge \alpha_A=\alpha_A (\nu).
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