Distorsione da campionamento flat-top

[novizio]

Salve a tutti.

Avrei bisogno di confrontarmi su questo tema, in particolare sull'analisi delle cause che comportano la distorsione di un segnale analogico quando questo viene campionato con tecnica flat-top.

Intanto chiedo: è questa la sezione del forum più appropriata al tema in oggetto?

Grazie.

[MarcoD]

Benvenuto nel forum. La sezione elettronica generale è appropriata.
Oggi imparo qualcosa di nuovo: cosa è la tecnica "flat-top" ? appiattisci la sommità?

[DirtyDeeds]

Oggi imparo qualcosa di nuovo: cosa è la tecnica "flat-top" ? appiattisci la sommità?

E' il campionamento con mantenimento (sample-and-hold): il segnale campionato è costante per tutta la durata dell'impulso di campionamento, la cui durata, in generale, può anche essere inferiore al periodo di campionamento.

Non mi è chiara però la domanda di novizio.

[MarcoD]

x DirtyDeeds
Lo sospettavo, ma io la intendevo come campionamento con interpolazione di tipo 0 o dei rettangoli.
La interpolazione di tipo 1 lineare (o di Netwon?) approssima la funzione con dei trapezi.
Poi esiste quella di secondo ordine o di Simpson, ma i miei sono lontani ricordi...
O forse l' OP si preoccupa della deformazione del segnale nell'istante del campionamento dovuta all'impedenza del campionatore?

[novizio]

Salve di nuovo.
Intanto, grazie per il benvenuto e per le prime battute.

Oggi, avendo ospiti a casa per il pranzo, ho poco tempo per specificare nel dettaglio quali sono i punti a me oscuri. Voglio però chiarire meglio il focus della questione, nell'attesa (magari questa notte) di dettagliare meglio il tutto.

Dunque, come sappiamo, il campionamento è una delle fasi coinvolte nel processo di conversione A/D. Sappiamo anche quali sono le indicazioni di cui occorre tener conto nella realizzazione di questa fase (indicazioni fornite dal teorema di Shannon o del campionamento).

Ora, per ottenere da un segnale analogico, sa(t) un insieme di campioni (ovvero un segnale campionato, sc(t) ), è necessario moltiplicare il segnale analogico per un treno di impulsi di ampiezza unitaria e durata nulla.
Nella realtà un tale segnale impulsivo non è realizzabile e, pertanto, si adotta un treno di impulsi con durata molto piccola, diciamo almeno il 10% del periodo. Ma, per il momento, non voglio entrare nei numeri, diciamo con durata molto piccola rispetto a T.

La figura potrebbe meglio chiarire quanto sopra scritto.

[novizio]

In sostanza, il risultato del sampling flat-top è quello indicato nell'immagine qui allegata.

[novizio]

Il singolo campione, in luogo di avere una durata nulla, ha una durata che, seppur molto piccola, non è uguale a zero.
Tutto ciò provoca una distorsione del segnale campionato che, inevitabilmente, si riverbera sul segnale che il ricevitore dovrà ricostruire.

Se si effettua un'analisi spettrale del segnale campionato si ottiene quanto mostrato dall'immagine qui sotto.

Lo spettro del segnale analogico di partenza (che in figura è costituito dalla porzione che sull'asse delle frequenze è compresa tra 0 e W), il cui inviluppo è evidenziato con un tratto continuo al cui interno vi è un'area turchese, si discosta dallo spettro del segnale campionato rappresentato con un tratteggio. Stessa cosa per le repliche del segnale analogico, poste a destra e a sinistra di fc (frequenza di campionamento), di 2fc, ecc.

Ora, quel che si nota osservando la figura, è che la distorsione è funzione della frequenza. Ma, a parte il disegno, ciò corrisponde anche a quanto affermato dall'autore del testo da cui è tratta la figura.

Ebbene, questo è il focus.
A dopo.

[MarcoD]

Complimenti, ho capito il sottile problema, anche se sono un praticone e non in grado di dibatterne con proprietà.
Nell'ultimo grafico è riportato il fattore di scala, che se il campionamento fosse di campioni
di durata infinitesima, sarebbe una retta tratteggiata parallela all'asse delle frequenze.
Essendo gli impulsi di campionamento di durata finita Tau, più breve di metà del periodo di campionamento, è una funzione di forma |sen(x)|/x che approssima la retta per x piccoli.
Per il segnale campionato in banda base, la distorsione influisce poco, è minore dell'errore commesso dai ricostruttori con un numero finito di campioni ( non come quello ideale di Shannon) e forse si può trascurare in pratica.
Non so dire di più, sono interessato a leggere altre osservazioni.

[novizio]

Grazie Marco, è proprio così. Almeno questa è l'idea che mi sono fatto analizzando la questione sotto un profilo squisitamente matematico.

In effeti lo sviluppo in serie di Fourier di un treno d'impulsi ci restituisce uno spettro le ampiezze delle cui armoniche seguono un inviluppo che è regolato dalla funzione seno cardinale (ovvero dal modulo di questa).

In serata, o al più domani, mi riprometto di proseguire il discorso fino ad arrivare al quesito che intendo porre alla comunità.

A dopo.

[Gost91]

Ottima domanda novizio, la questione ha una certa rilevanza teorica nella teoria dei segnali, tanto è vero che in rete si trova molto materiale al riguardo . Se padroneggi la trasformata di Fourier non ti sarà difficile comprendere la trattazione matematica del campionamento ZOH.

Conviene procedere andando a generalizzare per passi successivi il concetto di campionamento ideale.



Campionamento ideale

Si consideri un segnale analogico, di energia, in banda base e reale. Sotto queste ipotesi tale segnale e il suo campionamento (regolare, ossia ottenuto campionato con periodo costante , detto tempo di campionamento) ammettono trasformata di Fourier.
Nel dominio del tempo il campionamento del segnale è una successione definita per mezzo dei suoi campioni. Di solito in letteratura si usa indicare l'n-esimo campione di un segnale analogico come



e non per mezzo della più familiare notazione , utilizza pressoché sempre in analisi.
Tanto per capirsi la situazione è rappresentata nella seguente figura, raffigurante un generico segnale soddisfacente le precedenti ipotesi.

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Il segnale campionato, a differenza del campionamento, è ancora un segnale analogico concentrato nei soli istanti di campionamento. Per la sua descrizione si ricorre all'utilizzo del pettine di Dirac



tra terzo e quarto membro si è utilizzato la proprietà di campionamento della delta di Dirac.

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Il segnale campionato è un segnale analogico, per cui, anche grazie alla precedenti ipotesi, si può passare ad una descrizione in frequenza trasformando secondo Fourier. Indicando con la trasformata di Fourier (ossia lo spettro) del segnale , si trova



dove indica il ben noto prodotto di convoluzione. Tra primo e secondo membro si è utilizzato il teorema di convoluzione nel dominio della frequenza.

Il risultato che si è trovato è che, in condizioni ideali (campionamento regolare e istantaneo) lo spettro del segnale campionato, ossia , è, a meno del fattore di scala , dato dalla sovrapposizione di infinite repliche esatte dello spettro del segnale da campionare (), tutte centrate in multipli della frequenza di campionamento .
Da questo risultato si deduce anche il teorema del campionamento di Shannon.

Tanto per fissare le idee, supponiamo (ad esempio) che il segnale analogico di partenza abbia spettro triangolare e banda , cioè

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Supponiamo inoltre che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di campionamento, ad esempio per , allora lo spettro del segnale campionato è il seguente:

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Per ricostruire esattamente il segnale di partenza è sufficiente filtrare una qualsiasi singola replica e riscalarla di un fattore .


Campionamento naturale

Si abbandoni adesso l'ipotesi di campionamento istantaneo. Nel campionamento naturale non si prelevano punti della curva da campionare, ma bensì degli archi di una durata , sempre con cadenza regolare di periodo .

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Si seguono gli stessi passi fatti nel caso precedente, con la sola, ma importante, differenza che il treno di impulsi viene sostituito con un treno di impulsi rettangolari di durata finita centrati agli istanti di campionamento

.

Passando al dominio della frequenza si trova



la funzione sinc è il seno circolare.

La bontà teorica di tale campionamento è pari a quella del campionamento ideale, comunque presenta una sostanziale differenza.
In questo caso, come nel precedente, lo spettro del segnale campionato è dato dalla sovrapposizione di infinite repliche dello spettro del segnale di partenza. La differenza consiste che adesso ogni replica, pur sempre conservando la forma (e quindi il contenuto informativo) dello spettro di partenza, è riscalata di un fattore comune e allo stesso tempo di un fattore proprio .

Questo significa che, sempre in assenza di aliasing, adesso lo spettro del segnale campionato sarà qualcosa del genere

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la curva inviluppo in chiaro è il prolungamento continuo di , ossia .

Ancora, è possibile ricostruire esattamente il segnale originale filtrando una qualsiasi replica per poi riscalaral di un fattore opportuno.



Campionamento ZOH

Nel campionamento ZOH, a differenza del campionamento naturale, gli archi di campionamento vengono sostituiti da segmenti orizzontali.

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In questo ultimo caso il segnale campionato assume la seguente espressione



che può essere riscritta nel seguente modo



se adesso si definiscono





si conclude che lo spettro del segnale campionato ora è



avendo sfruttato il risultato trovato nel primo caso. Il risultato trovato mette in luce che il campionamento ZOH comporta delle distorsioni, in quanto, come si nota nell'ultima espressione, ogni replica è riscalata di un fattore che varia frequenza per frequenza.

Facendo riferimento al solito esempio di spettro triangolare, adesso lo spettro del sengnale campionato assume la seguente forma

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La distorsione risulta trascurabile quando il è approssimativamente costante nella banda occupata da ogni singola replica.
Questo avviene per esempio nell'intorno della continua quando (in tal caso il sinc si appiattisce tendendo all'unità) , e in questo modo si torna al caso di campionamento ideale (gli impulsi tendo a delle delta).

In sostanza, un buon campionamento ZOH dipende da due parametri: la durata degli impulsi che determinano la distorsione intrinseca del metodo di campionamento, e il tempo di campionamento che determina l'eventuale distorsione di aliasing.

Supponendo di non essere in grado di generare impulsi sufficientemente brevi, si può sempre rimediare alla distorsione considerando una opportuna equalizzazione post-campionamento che compensi la distorsione di campionamento

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Una volta equalizzato il segnale campionato si può ricostruire con buona approssimazione il segnale di partenza andando a filtrare la replica in banda base, e riscalarla opportunamente.