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da **filippo125** » 15 apr 2016, 9:44

Salve a tutti, ho un dubbio su un esercizio dove non riesco a trovare l'errore:

Trovare i coefficienti di Fourier di x(t)= |t| con -1<t<1.

Trovando che x è la derivata dell'onda quadra e sapendo che i suoi coefficienti sono $a_k =\frac {2} { j\pi k}$ per la regola sulle derivate a_k = j k 2 b_k

dove

sono i coefficienti di x.

Risultato $b_k = \frac{-2} {(\pi k)^2}$

Siccome è facile che nel momento dell'esame non ricordi a memoria i coefficienti dei segnali "fondamentali", ho provato a fare il calcolo diretto:
$b_k= \frac{1} {2} \int_{-1}^{1}{ x(t)e^{-jkt}dt}=\frac{1} {2} 2 \int_{0}^{1}{ te^{-jkt}dt} = \frac{je^{-j k \pi}} {k \pi} + \frac{e^{-j k \pi}-1} {(k \pi)^2}$

Essendo il periodo $T = 2 e w = \pi$

Qualcuno mi può dare un suggerimento per trovare l'errore nel calcolo diretto (sicuramente è lì l'errore, visto che x(t) è reale e pari, anche i suoi coefficienti lo devono essere)
Grazie

da **IsidoroKZ** » 15 apr 2016, 10:06

Ci sono due problemi.

Il primo e` che manca un $\pi$ nell'argomento della funzione esponenziale $\text{e}^{-\text{j}k \pi t}$

Il secondo e` che quando passi dal primo al secondo integrale consideri l'integrando come funzione pari, mentre non lo e`.

|x| e` pari ma |x| per e^qualcosa non lo e`. Devi scomporre l'esponenziale in seno e coseno, poi vedi che |x| per seno e` dispari, e da` un contributo nullo, |x| per coseno e` pari e solo per questa parte della funzione puoi restringere l'integrale fra 0 e 1 e raddoppiare il risultato.

da **filippo125** » 15 apr 2016, 10:23

per il primo problema il $\pi$ mi è rimasto nella tastiera

per il secondo ecco dove sbaglio, grazie mille!!

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