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Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esercizio

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esercizio

Messaggioda Foto UtenteDLz » 8 giu 2016, 19:31

Salve a tutti. :)
Come da titolo ho alcuni dubbi sulla teoria: sto studiando i circuiti con elementi dinamici in evoluzione forzata, nello specifico, sto analizzando il regime stazionario. Nel mio libro è scritto che in un regime forzato, all'istante iniziale t=0 le grandezze caratteristiche degli elementi dinamici (intensità di corrente per l'induttore e tensione per il condensatore) sono nulle.
Ma allora nei problemi di Cauchy che risolvo per descrivere come varia l'intensità di corrente o la tensione nel tempo, che condizione iniziale devo imporre? In teoria andrebbe la condizione all'istante t=0 ,cioè imporre il valore che la corrente o la tensione hanno all'istante t=0, ma se sono nulle, che scrivo?
Cercando ho trovato (non è scritto sul mio libro) che in realtà le condizioni iniziali vanno scritte per un intorno dell'istante t=0, nello specifico poco prima di t=0 (ho trovato la dicitura t<0 oppure t=0^-).
In questo modo posso trovare il termine transitorio. è giusto?

Consideriamo questo circuito:


Il testo dice che per t\rightarrow +\infty il circuito tende ad un regime stazionario. Questo significa che per t<0 non ho un regime stazionario giusto? E quindi dovrò calcolarmi un transitorio. L'esercizio vuole l'andamento della tensione del condensatore nel tempo.
Io ho risolto il circuito sostituendo l'equivalente di Thévenin e arrivando ad avere un solo generatore, una sola resistenza (Rth) ed il condensatore, ma non sono sicuro che sia giusto, anche perché la tensione del generatore mi resta in funzione di J(t).
Mi potreste aiutare?
Grazie. :D
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[2] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più eserciz

Messaggioda Foto UtenteDLz » 8 giu 2016, 20:36

Mi sono scordato le intensità di corrente nei vari rarmi. #-o Sono quelle frecce presenti in ogni ramo, per maggiore chiarezza riposto il circuito:
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[3] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteStokes » 8 giu 2016, 22:07

Non mi torna molto quello che hai scritto; a t=0^- il circuito è a regime e le variabili di stato hanno valore costante, quindi i condensatori sono circuiti aperti e gli induttori cortocircuiti. Questo varrà anche per t=\infty, perché il transitorio si è esaurito. Il caso in esame è abbastanza facile perché hai solo un condensatore e quindi solo una costante di tempo (e la calcoli nel modo solito); la soluzione la trovi come v_c(t)=v_{c\infty}+(v_{c0}-v_{c\infty})e^{-\frac{t}{\tau}}. Prova a postare i tuoi calcoli
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[4] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteDLz » 8 giu 2016, 22:26

Grazie mille per la risposta, domani posto i calcoli (tra un po' stacco che sono stanco).
Però ho alcune domande:
1)l'esercizio dice che il regime costante si instaura per t\rightarrow +\infty perché allora ho regime costante che per t=0^- ?
2)Il fatto che mi resti J(t) nei calcoli è dovuto al fatto che io pensavo che pert=0^- il regime non fosse stazionario. Se invece, come dici, lo è sempre, J(t) = u(-t) a cosa è uguale?
3)Se il regime è stazionario sempre, la condizione iniziale, che è la parte transitoria della soluzione, non è sempre nulla?
Ho alcuni dubbi sulla teoria come vedi, purtroppo il testo dal quale studio, non tratta in maniera approfondita i circuiti dinamici.
Grazie ancora :-)
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[5] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteDLz » 9 giu 2016, 10:21

Ecco i miei calcoli.
Prima di scrivere il problema di Cauchy, ho ridotto il circuito al suo equivalente di Thévenin, in modo da avere un solo generatore (E0), una sola resistenza (Rth) ed il condensatore C.

Calcolo di Rth (spengo tutti i generatori indipendenti)



-i1+i2-15V3+i=0

i1R1-i3R3=0

i2=-i3 + 15V3= 3,5

Sostiuendo trovo:

i3 = 0,25A

V3 = 0,75V

Vab= i3R3 + i1R1 = 0.75V

Rth= \frac{Vab}{i} = 0,75Ω

A questo punto calcolo E0 (tensione a vuoto) con il metodo della sovrapposizione degli effetti, spegnendo uno ad uno i generatori. Per farlo suppongo nota la corrente 15V3, e poingo I=15V3 e calcolo poi la grandezza pilota V3.

Primo circuito


E0'= i1'R1

V3'=i3'R3

-i1'+J(t)+i3'=0

-i1'+i2'-J(t)-I=0

I-i3'-i2'=0

i1'R1+i2'R2-i3'R3=0

i2'R2-i3'R3=0

Sostituendo trovo:

i3'= 2I

i1'=8I

E0'=8IR1

V3'=2IR3

Secondo circuito


E0"=i1"R1

V3"=i3"R3

-i1"-I+i2"=0

-i3"+I-i2"=0

i1"R1+i2"R2-i3"R3-E=0

Sostituendo ottengo

i3"=0,33I-1,7

i1"=1,7-0,33I

Terzo circuito


E0'''=i1'''R1

V3'''=i3'''R3

-i1'''+i2'''-J(t)=0

i3'''=-i2'''

i1'''+J(t)+i3'''=0

i1'''R1 +i2'''R2 -i3'''R3-E=0

Sostituendo trovo:

i3'''=-1,7-0,2J(t)

i1'''=0,8J(t) + 1,7

Allora
V3=V3'+V3''+V3'''=0,7+0,04J(t)

E0=E0'+E0''+E0'''=8,8 + J(t)

A questo punto posso procedere con l'impostazione del problema di Cauchy. Ma, da quello che hai scritto, non so se è giusto quello che ho fatto.
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[6] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto Utenteadmin » 9 giu 2016, 12:06

DLz ha scritto:i1R1-i3R3=0

Comincerei con l'osservare che qui manca un pezzo: la tensione ai capi del generatore di corrente controllato, che è poi la tensione su R_2
i_1R_1+i_2R_2-i_3R_3=0
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[7] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteDLz » 9 giu 2016, 12:31

#-o
Allora, con l'equazuione corretta, trovo

-6i3+30V3=-1

cambiando il verso di i3, trovo

i3=0,01A

i2=0,44A

i1=0,85A

V3=0,03V

Vab=0,82V

Rth=0,82 \Omega

Giusto?

Per le mie domande al post 4, puoi darmi una mano?
Grazie :-)
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[8] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteStokes » 9 giu 2016, 13:29

Ora non ho tempo di controllare i conti, cerco di rispondere velocemente alle tue domande:
1)l'esercizio dice che il regime costante si instaura per t\rightarrow +\infty perché allora ho regime costante che per t=0^- ?

Il circuito si ritiene a regime per t=0^-, in quanto si assume che il circuito sia alimentato dalle stesse sorgenti da molto tempo; dopo la commutazione del generatore di corrente inizia il transitorio che si esaurisce riportandoci in una condizione di equilibrio diversa (in generale) da quella di partenza
3)Se il regime è stazionario sempre, la condizione iniziale, che è la parte transitoria della soluzione, non è sempre nulla?

Regime stazionario vuol dire che le variabili di stato sono costanti, non che sono nulle! Il condensatore è un circuito aperto e la tensione ai suoi capi è incognita ed è la condizione iniziale.
2)Il fatto che mi resti J(t) nei calcoli è dovuto al fatto che io pensavo che pert=0^- il regime non fosse stazionario. Se invece, come dici, lo è sempre, J(t) = u(-t) a cosa è uguale?

u(-t) è una funzione gradino di Heaviside, specchiata rispetto all'origine: la corrente è costante per t=0^-, a t=0 diventa nulla: è questo che causa il transitorio (puoi immaginare che in parallelo al generatore di corrente ci sia un interruttore che si chiude a t=0)
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[9] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto UtenteDLz » 9 giu 2016, 16:04

Stokes ha scritto:Regime stazionario vuol dire che le variabili di stato sono costanti, non che sono nulle! Il condensatore è un circuito aperto e la tensione ai suoi capi è incognita ed è la condizione iniziale.


Grazie mille per le risposte. Ad ogni modo, io mi riferivo al fatto che fosse nullo il transitorio se il regime è sempre stazionario, non che fossero nulle le variabili di stato.
Per essere chiari, nel caso di un condensatore, detta vp(t) una qualunque soluzione particolare dell'equazione differenziale, la soluzione è del tipo

v(t)=[V0-vp(t0)]e^\frac{-t}{\tau }+ vp(t) per t\geq t0 con t0 istante iniziale

il termine [V0-vp(t0)]e^\frac{-t}{\tau } che dipende dalla condizione iniziale (V0) è il transitorio, giusto? Allora, non è lui ad essere nullo se il regime è sempre stazionario?
Grazie :-)
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[10] Re: Circuiti dinamici:domande sul regime forzato più esereci

Messaggioda Foto Utenteadmin » 9 giu 2016, 17:13

Come ti ha già scritto Foto UtenteStokes, J(t) è pari ad 1 fino all'istante t=0 e si annulla dopo tale istante, che è l'istante iniziale del transitorio.
All'istante zero il condensatore è sottoposto ad una certa tensione, V_0, che si trova risolvendo la rete con J(t)=1.
All'istante zero si ha J(t)=0 e, risolvendo la rete con questa condizione, si trova il nuovo valore a regime della tensione sul condensatore: V_F.
A questa tensione, che è il regime permanente finale, si sovrappone l'evoluzione libera che dipende dalla tensione iniziale sul condensatore e dalla resistenza R vista dai suoi terminali e che è un esponenziale del tipo: v_l(t)=Ke^{-\frac {t}{\tau}} con \tau=RC e K costante da determinare in base alla condizione iniziale.
Tale somma rappresenta il regime transitorio v_t(t)=Ke^{-\frac {t}{\tau}}+V_F. Ad essa si impone che, all'istante zero, la tensione sia quella che il condensatore ha in quell'istante, che è quella calcolata inizialmente; il che permette di ricavare K=V_0-V_F
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