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Ripasso equazioni trigonometriche

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 apr 2017, 12:57

Da una iniziativa partita in viewtopic.php?f=7&t=68627 ...

Problema 1:

\sin(x)=\cos(x) \qquad x \in \mathbb{R}

Foto UtentePiercarlo ti dispiacerebbe raccogliere in un'unica risposta qui sotto il tuo tentativo di soluzione?
Partiamo da quello e andiamo avanti :ok:

Dopo che abbiamo capito come risolverlo in un modo (che sarà quello proposto stesso da te) vediamo anche in quanti altri modi si può vedere la faccenda :)
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
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[2] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 6 apr 2017, 13:36

Ianero ha scritto:Problema 1:

\sin(x)=\cos(x) \qquad x \in \mathbb{R}

Foto UtentePiercarlo ti dispiacerebbe raccogliere in un'unica risposta qui sotto il tuo tentativo di soluzione?
Partiamo da quello e andiamo avanti :ok:


Ok ci provo. Intanto dico che, anche se l'accenno alle soluzioni con x reale avrebbe dovuto farmi drizzare le antenne, io comunque sono partito dalle mie uniche e ormai arrugginite conoscenze di trigonometria che ho acquisito sotto insegnante una quarantina di anni fa e che ho visto fin da allora come un'estensione del teorema di Pitagora, indipendentemente dalla correttezza o meno di questo approccio che comunque, per le mie (modeste) esigenze mi è sempre andato più che bene.

Con queste premesse ho affrontato il problema in questo modo:

Una prima mia risposta è stata: "Tutti i multipli di \left ( \frac{\pi }{2} \right ), toglierndo o aggiungendo \left ( \frac{\pi }{4} \right )"

La risposta viene da un ragionamento sulla geometria del cerchio, avendo in mente Pitagora: se la condizione da soddisfare è che seno e coseno abbiano lo stesso valore allora, risalendo al teorema di Pitagora, si deve cercare quella situazione in cui i due cateti sono uguali e questa corrisponde ad un triangolo rettangolo ottenuto dal sezionamento di un quadrato lungo una delle due diagonali.

Siccome gli angoli non rettangoli di questo triangolo rettangolo sono uguali essi possono essere solo due angoli da 45 °, \left ( \frac{\pi }{2} \right ) appunto. In un in singolo cerchio di 360° esistono solo quattro angoli che soddisfano la richiesta +/- 45° e +/- 135°, corrispondenti a \left ( \frac{\pi }{4} \right ), \left ( \frac{3\pi }{4} \right ), \left ( \frac{5\pi }{4} \right ) e \left ( \frac{7\pi }{4} \right ).

Foto Utentegammaci ha poi inserito \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\frac{cos(x)}{cos(x)} per "ravvivare" la domanda a cui poi Foto UtentePietroBaima ha fatto seguire questo:

Facciamo un grafico della funzione seno e della funzione coseno.

Immagine

Cosa ti dice il grafico?

PS. per coloro che tutte le volte che posto un qualcosa fatto in mathematica mi chiedono il codice, eccolo qui:

Codice: Seleziona tutto
Plot[
{Sin[x], Cos[x]},
{x, -2 \[Pi], 2 \[Pi]}, Prolog ->
  {Red,
   PointSize[0.02],
   Point[{{\[Pi]/4, 1/Sqrt[2]}, {\[Pi]/4 + \[Pi], -1/Sqrt[2]
      }
     }
    ]
   }
]


che a sua volta, dopo qualche pungolata, mi ha portato a questo:

Beh, i due puntini marcano il montante di salita della sinusoide positiva:

+45° \left ( \frac{\pi }{2} \right )

e negativa;

+225° \left ( \frac{3\pi }{2} \right )

Questo forse è da scrivere così:

-45° \left ( \frac{3\pi }{2} \right )



E poi? Le soluzioni con numeri reali sono solo queste? E dillo, no? :-P ;-) (c'entra qualcosa l'uso di considerare sin come parte immaginaria e cos come parte reale di un numero complesso? Se è così devo ripescare come funzionano i segni a seconda che le componenti di un numero complesso siano di segno concorde o discorde tra loro).


A cui è seguito da parte di Pietro:

Dal grafico non hai modo di saperlo con certezza. Puoi solo fare delle ipotesi.
Dal cerchio trigonometrico va meglio, ma hai trovato soluzioni diverse...

Come la mettiamo?


Da qui credo che possiamo proseguire! :-)
Ultima modifica di Foto Utentewall87 il 6 apr 2017, 13:44, modificato 1 volta in totale.
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[3] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto Utenteciccons » 6 apr 2017, 14:13

Mi permetto di suggerire a Piercarlo che potrebbe essere d'aiuto provare a fare anche un passetto indietro e valutare anche in maniera grafica le soluzioni di:
\sin(x)=k \qquad x \in \mathbb{R}
e
\sin(x)=kx \qquad x \in \mathbb{R}

al variare di k.
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[4] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 apr 2017, 14:13

Quindi il metodo che proponi è dall'analisi della circonferenza unitaria, va bene.

La risposta viene da un ragionamento sulla geometria del cerchio, avendo in mente Pitagora: se la condizione da soddisfare è che seno e coseno abbiano lo stesso valore allora, risalendo al teorema di Pitagora, si deve cercare quella situazione in cui i due cateti sono uguali e questa corrisponde ad un triangolo rettangolo ottenuto dal sezionamento di un quadrato lungo una delle due diagonali.


Qui stai dicendo quindi che questo angolo:



va bene, soddisfa l'equazione.
C'è qualche problema, te ne accorgi riguardandolo meglio? (e guardando l'equazione iniziale, ovvero cosa ti viene chiesto)
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[5] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 6 apr 2017, 14:50

Se trigonometria è rimasta quella che (molto tempo fa) ho studiato io a scuola, allora sin e cos, a parte i cambiamenti di segno e di verso, si ripetono ogni 90 gradi. Quindi cosa c'è che non va? Spiegatemi!

NOTA - Quando ho proposto di chiamare il nuovo thread "Rieducazione matematica di un elettronico selvaggio" un motivo c'era: non era SOLO una spiritosaggine! :-)
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[6] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtenteIanero » 6 apr 2017, 15:08

a parte i cambiamenti di segno e di verso

Appunto...

Sostituisci nell'equazione iniziale l'angolo in questione e vedi se l'uguaglianza è vera.
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[7] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto Utentecicciob90 » 6 apr 2017, 15:09

Il seno e il coseno hanno periodicità 360° e non 90°.
Concordo con chi ha scritto [sen(x)/cos(x)]=1 quindi tg(x)=1 di conseguenza x=45°+k180
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[8] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 6 apr 2017, 15:20

No, non è vera... Ma allora qui non si sta più parlando di trigonometria ma di funzioni trigometriche; dai miei nebulosi ricordi, non sono la stessa cosa... O sbaglio anche qui? E mi pare che i docenti di matematica, se tu gli parli di angoli invece che di radianti, ti tirano il libro in testa... Perché? :?:

Prima di andare avanti queste sottigliezze vanno spiegate perché io, selvaggio, non le so...
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[9] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto Utentegammaci » 6 apr 2017, 15:25

Forse disegnandolo così, grazie Foto UtenteIanero



\frac{sin(x)}{cos(x)} = \tan (x)
quindi ogni \frac{\pi}{4} + n \pi con n intero grande a piacere o scritto n \in \mathbb{Z} .


Questo sarebbe il metodo sul cerchio, poi si potrebbe anche elevare i due membri dell'equazione al quadrato, forse si vede meglio.
Da soli conosciamo alcune cose.
In molti ne conosceremo molte di più.
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[10] Re: Ripasso equazioni trigonometriche

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 6 apr 2017, 15:30

Grazie Foto Utentegammaci! :D
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