Ripasso equazioni trigonometriche

[Ianero]

Da una iniziativa partita in viewtopic.php?f=7&t=68627 ...

Problema 1:



Piercarlo ti dispiacerebbe raccogliere in un'unica risposta qui sotto il tuo tentativo di soluzione?
Partiamo da quello e andiamo avanti

Dopo che abbiamo capito come risolverlo in un modo (che sarà quello proposto stesso da te) vediamo anche in quanti altri modi si può vedere la faccenda :)

[Piercarlo]

Problema 1:



Piercarlo ti dispiacerebbe raccogliere in un'unica risposta qui sotto il tuo tentativo di soluzione?
Partiamo da quello e andiamo avanti

Ok ci provo. Intanto dico che, anche se l'accenno alle soluzioni con reale avrebbe dovuto farmi drizzare le antenne, io comunque sono partito dalle mie uniche e ormai arrugginite conoscenze di trigonometria che ho acquisito sotto insegnante una quarantina di anni fa e che ho visto fin da allora come un'estensione del teorema di Pitagora, indipendentemente dalla correttezza o meno di questo approccio che comunque, per le mie (modeste) esigenze mi è sempre andato più che bene.

Con queste premesse ho affrontato il problema in questo modo:

Una prima mia risposta è stata: "Tutti i multipli di , toglierndo o aggiungendo "

La risposta viene da un ragionamento sulla geometria del cerchio, avendo in mente Pitagora: se la condizione da soddisfare è che seno e coseno abbiano lo stesso valore allora, risalendo al teorema di Pitagora, si deve cercare quella situazione in cui i due cateti sono uguali e questa corrisponde ad un triangolo rettangolo ottenuto dal sezionamento di un quadrato lungo una delle due diagonali.

Siccome gli angoli non rettangoli di questo triangolo rettangolo sono uguali essi possono essere solo due angoli da 45 °, appunto. In un in singolo cerchio di 360° esistono solo quattro angoli che soddisfano la richiesta +/- 45° e +/- 135°, corrispondenti a , , e .

gammaci ha poi inserito per "ravvivare" la domanda a cui poi PietroBaima ha fatto seguire questo:

Facciamo un grafico della funzione seno e della funzione coseno.



Cosa ti dice il grafico?

PS. per coloro che tutte le volte che posto un qualcosa fatto in mathematica mi chiedono il codice, eccolo qui:

Codice: Seleziona tutto

Plot[
{Sin[x], Cos[x]},
{x, -2 \[Pi], 2 \[Pi]}, Prolog ->
  {Red,
   PointSize[0.02],
   Point[{{\[Pi]/4, 1/Sqrt[2]}, {\[Pi]/4 + \[Pi], -1/Sqrt[2]
      }
     }
    ]
   }
]

che a sua volta, dopo qualche pungolata, mi ha portato a questo:

Beh, i due puntini marcano il montante di salita della sinusoide positiva:

+45°

e negativa;

+225°

Questo forse è da scrivere così:

-45°


E poi? Le soluzioni con numeri reali sono solo queste? E dillo, no? (c'entra qualcosa l'uso di considerare come parte immaginaria e come parte reale di un numero complesso? Se è così devo ripescare come funzionano i segni a seconda che le componenti di un numero complesso siano di segno concorde o discorde tra loro).

A cui è seguito da parte di Pietro:

Dal grafico non hai modo di saperlo con certezza. Puoi solo fare delle ipotesi.
Dal cerchio trigonometrico va meglio, ma hai trovato soluzioni diverse...

Come la mettiamo?

Da qui credo che possiamo proseguire!

[ciccons]

Mi permetto di suggerire a Piercarlo che potrebbe essere d'aiuto provare a fare anche un passetto indietro e valutare anche in maniera grafica le soluzioni di:

e


al variare di k.

[Ianero]

Quindi il metodo che proponi è dall'analisi della circonferenza unitaria, va bene.

La risposta viene da un ragionamento sulla geometria del cerchio, avendo in mente Pitagora: se la condizione da soddisfare è che seno e coseno abbiano lo stesso valore allora, risalendo al teorema di Pitagora, si deve cercare quella situazione in cui i due cateti sono uguali e questa corrisponde ad un triangolo rettangolo ottenuto dal sezionamento di un quadrato lungo una delle due diagonali.

Qui stai dicendo quindi che questo angolo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

va bene, soddisfa l'equazione.
C'è qualche problema, te ne accorgi riguardandolo meglio? (e guardando l'equazione iniziale, ovvero cosa ti viene chiesto)

[Piercarlo]

Se trigonometria è rimasta quella che (molto tempo fa) ho studiato io a scuola, allora e , a parte i cambiamenti di segno e di verso, si ripetono ogni 90 gradi. Quindi cosa c'è che non va? Spiegatemi!

NOTA - Quando ho proposto di chiamare il nuovo thread "Rieducazione matematica di un elettronico selvaggio" un motivo c'era: non era SOLO una spiritosaggine!

[Ianero]

a parte i cambiamenti di segno e di verso

Appunto...

Sostituisci nell'equazione iniziale l'angolo in questione e vedi se l'uguaglianza è vera.

[cicciob90]

Il seno e il coseno hanno periodicità 360° e non 90°.
Concordo con chi ha scritto quindi tg(x)=1 di conseguenza x=45°+k180

[Piercarlo]

No, non è vera... Ma allora qui non si sta più parlando di trigonometria ma di funzioni trigometriche; dai miei nebulosi ricordi, non sono la stessa cosa... O sbaglio anche qui? E mi pare che i docenti di matematica, se tu gli parli di angoli invece che di radianti, ti tirano il libro in testa... Perché?

Prima di andare avanti queste sottigliezze vanno spiegate perché io, selvaggio, non le so...

[gammaci]

Forse disegnandolo così, grazie Ianero

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

quindi ogni con intero grande a piacere o scritto .


Questo sarebbe il metodo sul cerchio, poi si potrebbe anche elevare i due membri dell'equazione al quadrato, forse si vede meglio.

[Piercarlo]

Grazie gammaci!