Circuito dinamico del secondo ordine- induttori accoppiati

[Carlo1]

Buon pomeriggio a tutti, volevo postare l'esecuzione di questo esercizio e volevo vedere se vi trovate con la sequenza di passaggi e nella parte finale .

Questo esercizio mi chiede di determinare l'energia dissipata dalla resistenza nel periodo 0<t<1ms per la rete,inizialmente scarica.

Circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

PASSO 1:Determino le condizioni iniziali
Fissato t=0 l'istante iniziale, le condizioni iniziali le ricavo per t<0 ma visto e considerato che la rete è inizialmente scarica, è possibile scrivere:
e

PASSO 2: Determinare l'equazione differenziale omogenea lineare in evoluzione libera
Utilizzo formula del trasporto d'impedenza per trasportare il condensatore C dal secondario al primario, ottenendo :



Il circuito, una volta spente le cause forzanti, è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il circuito d'interesse è un RLC serie e l'equazione sarà:



Il corrispondente polinomio caratteristico è:

Le soluzioni sono:

La soluzione dell'equazione omogenea sarà:

PASS0 3: Ricavare la soluzione particolare in evoluzione forzata
Il circuito in evoluzione forzata sarà:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Non circolerà nessuna corrente quindi

La soluzione dell'equazione completa sarà:

PASSO 4: Determinare le costanti A1 , A2
Bisogna risolvere il seguente problema di cauchy :



Ricaviamo la prima equazione imponendo la proprietà di continuità a t=0 come indicato nel problema di cauchy:
-Prendo la soluzione dell'equazione completa, pongo in t il valore 0+
-

-Pongo il tutto pari a zero, come indicato dalle condizioni iniziali, ovvero:

-La prima equazione del sistema , è:

Ricaviamo la seconda equazione:

-Effettuiamo la derivata rispetto al tempo della soluzione dell'equazione completa, ottenendo :



-Per t=0+, otteniamo:

Bisogna ricavare il fattore:

Visto che non è una variabile di stato, per poterla ricavare utilizziamo il metodo della fotografia resistiva che mi permette di ottenere un circuito adinamico a t=0+, ovvero:

- Sostituisco l'induttore con un generatore di corrente di valore

- Sostituisco il condensatore con un generatore di tensione di valore
- e(t)=10*u(t)=10*u(0)=10 V

- Il circuito sarà:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Risolvendo con il principio di sovrapposizione degli effetti, otteniamo 3 circuito elementari:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dal primo circuito elementare otteniamo:
Dal secondo circuito elementare otteniamo:
Dal terzo circuito elementare otteniamo:
Sommando il tutto:

Adesso possiamo scrivere che: ovvero:

Il sistema di equazioni da risolvere per ricavare A1 e A2 , sarà:


Risolvendo, otteniamo che:

Quindi avremo:

PASSO FINALE:
La corrente dell'induttore è la stessa corrente che passa per il resistore:
Calcolo potenza assorbita da R come:

Calcolo energia dissipata da R nel periodo 0<t<1ms come:

[Exodus]

Hai riportato il condensatore dal secondario al primario, ma poi hai portato avanti i calcoli con il valore di .
Comunque i calcoli sono giusti, direi un po' troppo macchinoso il tutto.
Immagino che ancora non hai studiato le trasformate di Laplace,
altrimenti con 3 semplici passaggi arrivavi alla stessa conclusione.

[Carlo1]

Mannaggia forse è vero.
Si ho studiato Laplace ma , il problema mi chiedeva di risolvere nel dominio del tempo e non nel dominio di Laplace.
Grazie mille per la risposta!

[RenzoDF]

... con 3 semplici passaggi arrivavi alla stessa conclusione.

Ci sarebbe arrivato ancora prima ricordando che tutta la carica finale del condensatore è stata fornita dal GIT e quindi, per quella dissipata su R, basta una semplice differenza, o meglio ancora (risparmiandosi pure quella), ricordare che l'energia fornita dal GIT è il doppio di quella finale accumulata da C.

BTW Per quanto riguarda i calcoli mi sembra ci sia un errore di segno nella , e trovo del tutto inutile la sovrapposizione degli effetti per una maglia forzata da un GIC.

[Carlo1]

Al posto del PSE potevo anche fare una lkt alla maglia e veniva più rapidamente.

Perché vi è un errore di segno?
Se faccio la LKT all'unica maglia stabilito il verso di percorrenza della maglia orario, stabilita la convenzione del generatore sui diversi generatori presenti , viene che:
e(0+)+vL(0+)-vC(0-)=0 quindi: vL(0+)=-e(0+)=-10 V

Sostituendo l'induttore con un GIC e il condensatore con un GIT, non dovrei rispettare la convenzione del generatore per entrambi?

[RenzoDF]

No, visto che hai usato le normali equazioni costitutive per il bipolo induttore e condensatore, devi usare la convenzione degli utilizzatori per entrambi.

Per quanto riguarda la scorciatoia risolutiva che ti suggerivo, errore mio, non avevo visto che la richiesta si riferiva ad un intervallo temporale limitato.

[Exodus]

Per quanto riguarda la scorciatoia risolutiva che ti suggerivo, errore mio, non avevo visto che la richiesta si riferiva ad un intervallo temporale limitato.

Non è da buttare, anzi mi sembra una ottima scorciatoia.
Trascurando l'effetto debole dell'induttore, e considerando la costante di tempo dell'ordine di , al tempo di si può considerare il circuito a regime,con un errore bassisimo, quindi la prendo come una ottima soluzione

[Carlo1]

Grazie per le delucidazioni.

[RenzoDF]

... Non è da buttare, anzi mi sembra una ottima scorciatoia.

Da un punto di vista ingegneristico può andare più che bene, ma da un punto di vista analitico no, non penso che verrebbe accettata in una prova H-demica.

[RenzoDF]

Giusto per controllare fra soluzione rigorosa, via wolframalpha,

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B+y%27%27%2B1e6*y%27%2B16e9*y%3D0+,+for+y(0)%3D0+,y%27(0)%3D1e4%5D

(ricavando di seguito via integrazione l'energia su R)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1e3+%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001

e soluzione "idraulica", risolta dal sottoscritto, visto che si tratta di un banale calcolo,



almeno fino alla quarta cifra significativa, non si vedono differenze.

PS ... e con qualche cifra significativa in più,

https://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B+integrate++1e3+*%5B+(e%5E(-20000+(25+%2B+3+sqrt(65))+x)+(-1+%2B+e%5E(120000+sqrt(65)+x)))%2F(12+sqrt(65))%5D%5E2+from+x%3D0+to+x%3D0.001%5D

ci rendiamo conto che la differenza è "quasi" trascurabile.