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Affinare il linguaggio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 15 set 2017, 8:57

Come consigliatomi da Foto UtenteDirtyDeeds, sono tornato indietro a prendere gli esercizi più facili per affinare il linguaggio matematico e il metodo dimostrativo, sperando in una sua supervisione :-)

Credo di aver saputo risolvere questo:

Let f:X \rightarrow  Y be a mapping from X into Y. Show that if A and B are subsets of X, then f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)

Io l'ho svolto in questo modo:

y \in f(A \cap B) \Rightarrow \exists x|(x \in A) \wedge (x \in B) \wedge (y=f(x))\Rightarrow

\Rightarrow (y\in f(A) )\wedge (y\in f(B) )\Rightarrow y \in f(A) \cap f(B)

\Biggl( y \in f(A \cap B) \Rightarrow y \in f(A) \cap f(B) \Biggr) \Leftrightarrow  \Biggl(f(A \cap B)\subset f(A)\cap f(B)\Biggr)

Che ne dici?

Grazie in anticipo per il tempo che metti a disposizione per aiutarmi.
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[2] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 16 set 2017, 21:53

Sì, la dimostrazione è corretta, bravo.

Però non esagerare nello scrivere formule, perché una dimostrazione deve essere anche leggibile, usa di più il linguaggio naturale, e sottoindendi qualche passo banale.

Io la riscriverei così:

Sia y \in f(A \cap B). Allora esiste x\in A\cap B tale che y=f(x). Ma x\in A e x\in B, quindi y\in f(A) e y\in f(B). Di conseguenza y\in f(A)\cap f(B), e poiché y è generico, f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B).
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[3] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 17 set 2017, 0:18

Grazie dei consigli.
Posso proporne un altro o, se vuoi chiaramente, avresti qualche esercizio particolarmente istruttivo da consigliarmi?

Grazie ancora.
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[4] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteSjuanez » 17 set 2017, 14:30

Io cercavo qualche suggerimento per scrivere proprio meglio la matematica "a penna". Riesco in qualche modo sempre ad incasinare tutto e quando vedo come scrivono bene delle altre persone ... argghh! :D
Più so e più mi accorgo di non sapere.

Qualsiasi cosa abbia scritto, tieni presente che sono ancora al mio primo rocchetto di stagno.
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[5] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 17 set 2017, 16:11

Esercizio.
E' solo una questione di esercizio.
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[6] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteSjuanez » 18 set 2017, 8:15

Dici bene! È che all'esercizio estetico si aggiunge quello matematico e finisco sempre per trascurare un aspetto :D

O_/
Più so e più mi accorgo di non sapere.

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[7] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 21 set 2017, 16:37

Sto cercando di capire cosa viene chiesto in questo esercizio:

a) Show that the inclusion relation is a partial ordering relation on sets;
b) Let A,B,C sets such that A\subset C, B\subset C, A\setminus B \neq \varnothing, B\setminus A \neq \varnothing. We introduce a partial ordering into this triple of sets as in a). Exhibit the maximal and minimal elements of the set {A,B,C}. (Pay attention to the non-uniqueness)


Per il punto primo è facile mostrare un esempio in cui non è vero che dati due insiemi A e B, allora A \subset B oppure B \subset A.
Esempio stupido: A={1} e B={2}.

Per il punto secondo invece posso dire che il massimo dell'insieme {A,B,C} è C, ma non capisco perché mi chiede anche il minimo: non esiste, perché non è verificata per nessuno dei tre la definizione di minimo, ovvero X è il minimo di {A,B,C} se

X \in \left \{ A,B,C \right \} e inoltre X \subset Y, \forall Y \in \left \{ A,B,C \right \}

Qualcuno ne sa di più?
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[8] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 22 set 2017, 20:27

Ianero ha scritto:Per il punto primo è facile mostrare un esempio in cui non è vero che dati due insiemi A e B, allora A \subset B oppure B \subset A.


Ecco, vedi perché è importante che tu ti eserciti a fare esercizi semplici? Non è questo quello che devi dimostrare ;-) Il primo punto ti chiede di dimostrare che la relazione di inclusione è una relazione di ordine parziale: questo significa che devi verificare che la relazione d'ordine soddisfa alle proprietà che definiscono una relazione d'ordine parziale. Il tuo esempio non dimostra questo.

Inizia a fare questo, poi vediamo il secondo punto ;-)
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[9] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteAjeieBrazov » 22 set 2017, 22:11

Devi dimostrare che la relazione è:
- Riflessiva
- Antisimmetrica
- Transitiva
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[10] Re: Affinare il linguaggio

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 set 2017, 9:38

In realtà avevo capito che bisognava dimostrare le 3 solite proprietà, ma le avevo date per "ovvie" e pensavo che la cosa davvero interessante era far vedere che la relazione d'ordine non fosse un ordinamento lineare, ma solo parziale.
Ad ogni modo avete ragione, non ho seguito ciò che mi chiedeva:

Ogni insieme è un sottoinsieme improprio di se stesso - riflessività.
Se A \subset B e B \subset A, allora vuol dire che A e B contengono gli stessi elementi, ovvero A=B - antisimmetria.
A \subset B e B \subset C è equivalente a \Biggl( a \in A \Rightarrow a \in B \Biggr) \wedge \Biggl( b \in B \Rightarrow b \in C \Biggr) ovvero \Biggl( a \in A \Rightarrow a \in C \Biggr) ovvero A \subset C - transitività.
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