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da **Patras** » 23 gen 2018, 8:07

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi con il mio dubbio.
Facendo degli esercizi di modelli ho trovato un caso in cui la likelihood viene massimizzata a un valore maggiore di uno.
Ma non dovrebbe essere una distribuzione di probabilità? come fa ad avere valore maggiore di uno?

L'esempio:
Si considerino

variabili aleatorie y_i

indipendenti ed equidistribuite, ciascuna avente densità:
$p(y_i)=1-\theta+2\theta y_i$ se $0\leq y_i \leq 1$ e nulla altrove

Si ricavi la stima di $\theta$ ottenuta massimizzando la verosimiglianza su $\Theta = [0,1]$ assumendo di aver osservato le misure y_1=1

e

Sol:
$L_\theta = (1-\theta+2\theta y_1)(1-\theta+2\theta y_2)=-\theta^2/2+1+\theta/2$
la cui derivata prima ci dà il massimo : $\theta=1/2$

Ora non capisco perché possiamo accettare questo stimatore?
Provando a sostituire per $\theta=1/2$ la funzione likelihood viene 9/8

(densità>1).
O ancor più scandalizzante: p(y_1)=3/2

per $\theta=\hat{\theta}^{ML}=1/2$ che è maggiore di uno. (non è densità di probabilità)

da **Ianero** » 23 gen 2018, 9:11

Una densità di probabilità può essere senza problemi maggiore di 1 in alcuni punti, è il suo integrale che deve essere 1.

Non so se la domanda era questa.