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Dubbio sulla massima verosimiglianza

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Dubbio sulla massima verosimiglianza

Messaggioda Foto UtentePatras » 23 gen 2018, 8:07

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi con il mio dubbio.
Facendo degli esercizi di modelli ho trovato un caso in cui la likelihood viene massimizzata a un valore maggiore di uno.
Ma non dovrebbe essere una distribuzione di probabilità? come fa ad avere valore maggiore di uno?

L'esempio:
Si considerino n variabili aleatorie y_i indipendenti ed equidistribuite, ciascuna avente densità:
p(y_i)=1-\theta+2\theta y_i se 0\leq y_i \leq 1 e nulla altrove

Si ricavi la stima di \theta ottenuta massimizzando la verosimiglianza su \Theta = [0,1] assumendo di aver osservato le misure y_1=1 e y_2=0.25


Sol:
L_\theta = (1-\theta+2\theta y_1)(1-\theta+2\theta y_2)=-\theta^2/2+1+\theta/2
la cui derivata prima ci dà il massimo : \theta=1/2

Ora non capisco perché possiamo accettare questo stimatore?
Provando a sostituire per \theta=1/2 la funzione likelihood viene 9/8 (densità>1).
O ancor più scandalizzante: p(y_1)=3/2 per \theta=\hat{\theta}^{ML}=1/2 che è maggiore di uno. (non è densità di probabilità)
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[2] Re: Dubbio sulla massima verosimiglianza

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 gen 2018, 9:11

Una densità di probabilità può essere senza problemi maggiore di 1 in alcuni punti, è il suo integrale che deve essere 1.

Non so se la domanda era questa.
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[3] Re: Dubbio sulla massima verosimiglianza

Messaggioda Foto UtentePatras » 23 gen 2018, 10:21

grazie mille! :ok: questa densità è continua infatti... una volta le sapevo queste cose... :(
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[4] Re: Dubbio sulla massima verosimiglianza

Messaggioda Foto UtenteIanero » 23 gen 2018, 10:44

Di niente :-)
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