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Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in z

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in z

Messaggioda Foto Utentementos » 17 giu 2018, 14:36

Salve a tutti,
assegnate delle specifiche relative ad un filtro passa basso di Butterworth, sto cercando di ricavare il corrispondente filtro digitale.
Assegnate le specifiche, ricavo la seguente funzione di trasferimento, che posso confermare sia con Matlab sia con la "classica" analisi di Darlinghton.
La funzione di trasferimento è la seguente:
S_t(s)=\frac{1.94(10^9)}{s^2+6.228(10^4) \quad  s+1.94(10^9)}
A cui corrisponde un ordine del filtro N=2 e una frequenza di taglio f_t=2.5kHz.
Come scritto sopra, ho verificato che la FDT nel dominio di s fosse quella che ho scritto sopra, sia analiticamente (ricavo selettività e fattore di discriminazione, ordine del filtro, sintesi di Darlinghton etc...) e sia con il calcolatore (tramite semplici funzioni di Matlab).
Definito questo, e definita la frequenza di campionamento f_s,ricavo con MATLAB la corrispondente FDT in z, che risulta del tipo:
S_t(z)=\frac{d_0+d_1z^{-1}+d_2z^{-2}}{c_0+c_1z^{-1}+c_2z^{-2}}
dove d_0,d_1,d_2,c_0,c_1,c_2 sono dei coefficienti che mi ricavo con Matlab tramite semplici funzioni e passaggi.
Ora, il procedimento per passare da S_t(s) a S_t(z) è quello di sostituire con la seguente relazione giusto?
z=\frac{1+(\frac{T}{2})s}{1-(\frac{T}{2})s}
Definito ciò, qualora dovessi fare le cose analiticamente (e non tramite Matlab) esistono delle formule "più dirette" che mi permettono di sostituire i valori dei coefficienti d_0,d_1,d_2,c_0,c_1,c_2 senza dover sostituire la relazione di sopra ??
Magari per filtri di ordine 2 e/o 3.
Grazie in anticipo a tutti quanti
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[2] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 17 giu 2018, 15:59

Un a trasformazione pi semplice, ma meno approssimata , è

s \cong \frac{1-z^-1}{\Delta T}

vedi 17
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[3] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utentementos » 17 giu 2018, 17:59

La ringrazio per la risposta.
Ho consultato il link che mi ha mandato ed è molto utile.
Al di là di ciò comunque, mi domandavo se esistevano proprio delle "relazioni dirette" che, in assenza di calcolatore, mi permettessero di ricavare la FDT nel dominio di z in maniera più veloce.
Mi spiego meglio.
Assegnata la seguente FDT nel dominio di s:
S_t(s)=\frac{a_0}{s^2+b_1s+b_0}
Associo ad essa una FDT nel dominio di z del tipo seguente:
S_t(z)=\frac{d_0+d_1z^{-1}+d_2z^{-2}}{c_0+c_1z^{-1}+c_2z^{-2}}
La domanda è:
Esistono delle relazioni dirette che mi permettano di passare dalla S_t(s) alla S_t(z) senza dover fare il calcolo seguente?
z=\frac{1+(\frac{T}{2})s}{1-(\frac{T}{2})s} oppure s=\frac{1-z^{-1}}{T}
Ad esempio, io ho trovato le seguenti in rete e le avevo segnate (in riferimento a come ho indicato i coefficienti nelle relazioni di S_t(s) alla S_t(z) sopra riportate):
d_0=a_0T^2
d_1=2a_0T^2
d_2=a_0T^2
c_0=4+2b_1T+b_0T^2
c_1=-8+b_0T^2
c_2=4-2b_1T+b_0T^2
Ho provato ad implementare le relazioni che ho scritto sopra su Matlab, ma mi fornisce dei risultati differenti da quelli che si dovrebbero ottenere.
Voi conoscevate tali relazioni? Se si, da dove provengono?
Questo è il mio dubbio a riguardo.
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[4] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 17 giu 2018, 20:23

http://www.electroyou.it/ecotan/wiki/re ... o-digitale
Questo mio articolo non risponde propriamente al tuo quesito ma se lo scopo è quello di arrivare comunque al filtro digitale, dovrebbe consentirlo a prezzo di alcuni calcoli non difficili.
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[5] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utentementos » 17 giu 2018, 20:56

Salve, grazie dell'articolo.
Il mio dubbio era relativo al potermi fidare dei coefficienti che ho messo sopra.
Ho trovato i coefficienti che ho inserito sopra nell'ultimo post, ma sostituendo questi non tornano e secondo c'è dunque un errore (non penso da parte mia perché lo sto implementando su Matlab ma voglio comunque esserne certo).
Alla fine, come dice lei, si tratta di sostituire "brutalmente" la relazione che inserisce nell'articolo, e che compare nei post di sopra.
Domanda: perché dice "brutalmente"? perché non l'approccio matematicamente rigoroso? o per qualche altro motivo?
Grazie
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[6] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 17 giu 2018, 20:59

Mi puoi dare i valori numerici dei coefficienti d e c
che hai ottenuto? Che \Delta T hai usato?
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[7] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 17 giu 2018, 21:13

mentos ha scritto:perché dice "brutalmente"?

Prego di darci del tu.
Questa roba non la ho mai studiata seguendo un qualche corso regolare, e per quel poco che ho visto le varie trattazioni seguono metodi teorici più generali, comunque sulla liceità della sostituzione (e poi sull'interpretazione operativa di Z) sono incoraggiato dal fatto che l'esempio proposto nell'articolo funziona bene, ed il riscontro ottenuto parla chiaro.
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[8] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto Utentementos » 18 giu 2018, 9:25

Tralasciando alcuni calcoli analitici (selettività, discriminazione e quant'altro), il filtro in questione ha una frequenza di taglio f_t=7kHz ed un ordine pari a N=2.
Senza dover spiegare i vari passaggi, si ricava la funzione di trasferimento S_t(s) che ho messo nel primo commento di questo post.
Mediante Matlab, si ricava la seguente FDT nel dominio di z.
S_t(z)=\frac{0.00047 z^{-2} + 0.00094 z{-1} + 0.00047}{z^{-2} - 1.938 z{-1} + 0.94}
Io ho ricavato la FDT sopra riportata mediante calcolatore, e so che si ricava anche sostituendo la relazione che abbiamo discusso nei post precedenti (l'articolo di EcoTan lo conferma).
Mi chiedevo se la S_t(z) fosse corretta (ma penso proprio di sì perché l'ho fatta tramite calcolatore e non dovrei aver sbagliato nulla) e, se esistevano delle formule analitiche che mi permettessero di passare da una FDT ad un'altra (ho postato un esempio di formule nel secondo commento di sopra per fare un esempio, ma a me non tornano i conti).
Grazie per le risposte.
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[9] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteExodus » 18 giu 2018, 12:28

Si tratta di una trasformazione bilineare, in quelle formule che hai postato manca il fattore di correzione della frequenza:

\omega =\frac{2}{T}\cdot tan\left ( \frac{\omega T}{2} \right )

In pratica ad ogni s devi sostituire :

s=\frac{\omega }{tan\left ( \frac{\omega T}{2} \right )}\cdot \frac{z-1}{z+1}
;-)

Per quanto riguarda quei coefficienti te li ricavi facendo il calcolo simbolico.
Ad esempio per il coefficiente d_{0} :

d_{0}=\frac{a_{0}\cdot tan\frac{\omega T}{2}}{b_{1}\cdot \omega \cdot tan\frac{\omega T}{2}+b_{0}\cdot tan^{2}\frac{\omega T}{2}+\omega ^{2}}

Buon divertimento :ok:
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[10] Re: Filtro dig. Butterworth: passaggio da FDT in s a FDT in

Messaggioda Foto UtenteEcoTan » 18 giu 2018, 14:00

EcoTan ha scritto:non la ho mai studiata seguendo un qualche corso regolare

Non mi è chiara l'utilità della f.d.t.(Z) in forma fratta.
Alla fine quello che dobbiamo fare non è il programma?
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