Fine anno, tiriamo le somme (lunghe)

[IsidoroKZ]

A fine anno, in "Matematica generale" non si possono che tirare le somme del passato e fare qualche augurio per il futuro.

Mentre aspettavo con PietroBaima l'arrivo del suo anno nuovo, il mio e` ancora piu` in la`, e` venuta fuori questa idea: guardare che cosa il passato ci aveva dato in termini di scoperte matematiche e che cosa speriamo per il futuro.

Non e` che tutti gli anni ci siano scoperte eclatanti, quindi il passato va un po' indietro.

Io ricordo queste quattro scoperte memorabili

Teorema dei quattro colori
Catalogazione di tutti i gruppi finiti
Teorema di Fermat (l'ultimo)
Congettura di Poincaré.

Quali altre ci sono che ho dimenticato? E quali problemi aperti vi piacerebbe vedere risolti nel prossimo futuro?

La mia scelta e` l'ipotesi di Riemann, mentre Pietro ha una preferenza per le Navier-Stokes.

[Ianero]

A me piacerebbe prima capirli, e poi come optional, vederli anche risolti...

[WALTERmwp]

Se vale, nella mia ignoranza, per affetto e nostalgia voto l'ipotesi di Riemann.

Saluti

[IlGuru]

Oltre ai sopracitati:
Ipotesi del continuo di Cantor

[rugweri]

Sono grato per una quantità tale di risultati matematici da non avere spazio per elencarli tutti Cito pertanto solo quelli che mi sono stati "più utili" nel corso dell'ultimo anno:

- I vari teoremi di Myhill-Nerode, che sono fondamentali nella comprensione della teoria algebrica degli automi finiti.
- I vari teoremi "identificativi" degli spazi di Hilbert, come ad esempio il teorema di Lindenstrauss-Tzafriri o quello attribuito a Kakutani.
- I teoremi di Ado e Riesz-Fréchèt, e non credo serva dire perché
- I due teoremi di Löwenheim-Skolem, perché davvero la teoria dei modelli (e dunque, per estensione, la logica e forse la matematica tutta) non può farne a meno.
- Il teorema di Stokes, che in realtà ho usato poco: lo inserisco nella lista perché la sua eleganza formale e la semplicità potente della sua scrittura continuano a stupirmi pur avendolo già letto mille volte.

[IsidoroKZ]

Mi riferivo a teoremi dimostrati negli ultimi anni, quelli della cui dimostrazione siamo stati testimoni.

[rugweri]

Allora ho scritto roba inutile

[EdmondDantes]

Teorema di Taniyama-Shimura (legato anche al teorema di Fermat che hai citato).

Per quanto riguarda i problemi aperti, oltre a quelli già citati da te, io aggiungerei le varie congetture di Erdos. Molte di queste ipotesi sono "graficamente" banali, ma risultano ancora oggi inattaccabili.

[PietroBaima]

La mia scelta e` l'ipotesi di Riemann, mentre Pietro ha una preferenza per le Navier-Stokes.

In realtà sono tutti molto molto interessanti, quanto (sto per dire una banalità) complessi.
Il bello di questi problemi è che sarebbero avvincenti anche se la loro soluzione fosse semplice.

Mi spiego: se lascio cadere un magnete su un piano di rame, questo, in prossimità del piano, rallenta senza sbattere. Tutti sappiamo perché, ma vederlo, immaginarsi le correnti indotte, il campo ecc... è sempre avvincente e bello come vedere un bel quadro.

In più questi problemi sono mostruosamente utili per il progresso della scienza. Il fatto che siano complessi è un intoppo, ma anche una sfida che ci conferma che la creatività umana sia viva e il mondo sia colorato.

Per esempio, quando Perelman annunciò di aver trovato un metodo topologico per generalizzare Thurston fu immediatamente chiaro alla intera comunità matematica che Perelman aveva risolto Poincarè, cosa poi fatta effettivamente, come caso particolare, da altri matematici.

Leggere uno scritto di Perelman è qualcosa di entusiasmante. Non si può perdere attenzione e concentrazione per un solo secondo senza perdersi qualcosa.
La densità di quello che scrive è molto oltre il collasso gravitazionale.
Ammetto che sia un po' complicato leggerlo, a causa del fatto che Perelman ometta dettagli e dimostrazioni che reputa banali, tanto da spingere molti illustri matematici a pubblicare i loro appunti per permettere a molti di capirci qualcosa. Una sorta di guida galattica alla Divina Commedia.
Però il modo espositivo che usa è unico e di una bellezza incredibile.
Ogni articolo è un pezzo unico.

Prendete un suo qualunque articolo su arxiv.
Davvero, non scherzo, uno qualunque. Sono scaricabili liberamente.
Se riuscite a dimostrare anche solo una delle trivial proof di cui parla mi tolgo da moderatore della sezione matematica e ci metto voi.
Alcuni matematici che hanno scritto una guida alla comprensione del lavoro di Perelman hanno fornito la dimostrazione di tutti i trivial proof che Perelman aveva classificato come banalità.
Dicono di averci messo 8 mesi, dividendosi il lavoro. Non aggiungo altro.

Nel mio piccolo, ho letto i lavori di Perelman (*), poco dopo la loro pubblicazione ed è stata una cosa bellissima.
La congettura di Poincarè era uno di quei problemi che avrei sempre voluto vedere risolti, e sono stato accontentato.
C'è voluto molto tempo (e studio di alcune cose di cui non sapevo nulla) per capirli, ma ne valeva la pena.

Questi sono i momenti belli del tempo in cui viviamo! (la scoperta delle onde gravitazionali è stato un altro bel momento, per esempio).

Tornando in tema, ho scelto NS perché mi ci sono appassionato personalmente (senza capirci nulla come sempre ).
Mi intrigava il fatto che una NLPDE potesse generare così tanti problemi, da giovane.
Poi, dopo aver capito meglio cosa sia questa classe di problemi ho ampiamente rivalutato la cosa
Avevo intenzione di parlarne in un mio articolo sulle equazioni differenziali e sulle strategie (non sui metodi, quelli li trovate in un qualunque libro che parli di loro) risolutive. Ho ancora degli appunti che mi ero scritto in proposito e qualche post lasciato sul forum che devo trasformare in articolo.
L'articolo voleva concludersi proprio con NS e su come tutti gli attacchi a queste equazioni falliscano miseramente...
Sarebbe proprio bello vederle risolte, sì.

Ciao,
Pietro.


(*) Se vi interessa il lavoro, leggete questo. I lavori originali di Perelman sono difficilmente aggredibili, letti da soli.

[fairyvilje]

In un ambito matematico, anche se orientati all'informatica, sto ancora aspettando alcuni risultati sulla classe di complessità per gli algoritmi che determinano se due grafi (e varie generalizzazioni) siano isomorfi. Ma anche se il lavoro di Gil Kalai sui limiti della computazione con computer quantistici verrà validato.

P. S. Se vi piacciono le somme lunghe ho qualcosa di curioso per voi. https://www.youtube.com/watch?v=VI6ZlnkuxuA