momento angolare nullo su una componente

[ziomangrovia]

in questo esercizio una massa m, attaccata ad un filo inestensibile e senza massa di lunghezza l, ruota attorno all’asse verticale inizialmente con velocità angolare ω, descrivendo un cono di angolo θ, come in figura.
Suppongo che il piano xy sia quello dove è posizionato il cerchio e l'asse di rotazione sia z.

1. La mia domanda riguarda il momento prodotto dalla forza di gravità rispetto al polo P; questo vettore dovrebbe essere perpendicolare all'asse di rotazione e giacente sul piano parallelo al terreno, verso entrante cioè se stai guardando lo schermo è come se tu entrassi ci entrassi dentro! In sostanza è tangente alla circonferenza, giusto?
2. Il momento angolare invece dovrebbe essere parallelo all'asse di rotazione e rivolto dal cerchio verso il punto P. giusto?
3. Il testo del mio libro dice: la gravità essendo parallela all’asse di rotazione non ha componente del momento lungo l’asse verticale
   Questo punto non lo capisco bene, mi potete aiutare? Ci provo a dare una spiegazione: forse significa che il momento meccanico (vedi punto 2) si sviluppa sul piano xy per cui non ha componenti sull'asse z dove è sviluppato il momento angolare

[DrCox]

Essendo la gravità perpendicolare al moto circolare, essa non influenza il momento angolare nel piano xy. Questo non vuol dire che non abbia influenza sul sistema nel suo complesso. Man mano che la gravità agisce, il raggio della circonferenza si stringe...

[ziomangrovia]

concettualmente non fa una piega ma sarei curioso di comprendere questo meccanismo ragionando con la logica dei vettori e delle sue componenti come indica il testo che ho scritto. Puoi spiegarmi please?

[Ianero]

Perché è perpendicolare sia al vettore che a .

[ziomangrovia]

Se con intendi il vettore posizione e con quello velocità è sempre così in quanto il vettore risultante dall'operazione prodotto vettoriale è sempre perpendicolare ad entrambi.
Non mi ha convinto la tua giustificazione.

[Ianero]

Intendo due vettori qualsiasi, li ho chiamati u e v.
Portando questa cosa generale al tuo caso particolare...

la gravità essendo parallela all’asse di rotazione non ha componente del momento lungo l’asse verticale

Forza di gravità (vettore) parallela all'asse di rotazione il prodotto vettoriale di tale vettore con qualsiasi altro non potrà avere componente non nulla lungo quell'asse.

[ziomangrovia]

Forza di gravità (vettore) parallela all'asse di rotazione il prodotto vettoriale di tale vettore con qualsiasi altro non potrà avere componente non nulla lungo quell'asse.

Correggetemi se sbaglio, il vettore forza di gravità combinato con qualsiasi altro vettore posizione (che è il raggio della circonferenza) mi individua un certo piano che supponiamo sia quindi il loro prodotto (momento meccanico ) sarà un vettore parallelo al piano .
Il vettore momento angolare invece è parallelo all'asse ed il vettore ha componente nulla nella direzione , essendo parallelo al piano , quindi nella direzione del vettore momento angolare.
Ho detto bene ?

[Ianero]

Ti do un consiglio preliminare per cercare di aiutarti nell'affrontare questo tipo di problemi e per risolvere anche i dubbi annessi.
Il sistema di riferimento, quando si risolve un problema di fisica, si fissa prima di cominciare.
Non l'hai fatto in [1], per cui per non allungare troppo il brodo facciamo che te lo fisso io, così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Fatto ciò, ti dico inoltre che in questi problemi i vettori non sono applicati in nessun punto. La trattazione matematica che si utilizza solitamente per risolverli prevede l'uso di vettori liberi, per i quali è sufficiente specificare solo modulo, direzione e verso. Di conseguenza frasi come questa:

Il momento angolare ... dal cerchio verso il punto P.

non sono proprio il massimo.

Veniamo al tuo dubbio.
Il vettore (libero) che descrive la forza di gravità cui è soggetta la pallina attaccata al filo è, nel particolare sistema di riferimento che abbiamo scelto, questo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il calcolo del momento meccanico si basa sulla conoscenza di un polo, che fissiamo ad esempio nel punto in cima in cui si è bloccato il filo, e sulla conoscenza di un altro vettore: il braccio.
Disegniamoli:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Come saprai, il calcolo del momento angolare rispetto al polo scelto, si ottiene mediante la seguente:



che in notazione vettoriale diventa, nel nostro sistema di riferimento:




dove ho indicato con il raggio dell'orbita della pallina, con l'angolo tra (vettore posizione della pallina) e , con la lunghezza del filo e con l'angolo tra il filo e l'asse (a sua volta parallelo a ).

Di conseguenza:



dove si vede molto bene come mai sia assente una componente di momento meccanico parallela all'asse.

Come ti dicevo (*) in [4] e [6], questa proprietà è generale, vale sempre che il prodotto vettoriale tra un vettore qualsiasi e uno della forma non presenta mai una componente parallela a , infatti è sufficiente rifare lo stesso calcolo che ho fatto sopra con:




(*) nei messaggi [4] e [6] ho indicato i vettori con una sottolineatura, in questo messaggio li ho indicati in grassetto.

[ziomangrovia]

Una risposta così chiara non me l'aveva mai data nessuno!
Ho capito perfettamente, questo esempio mi è stato utilissimo. Grazie

[Ianero]

Esagerato!
Felice di averti aiutato. :)

PS: le risposte di @venexian che ricevi di solito non sono certo da meno.