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da **onire** » 2 mar 2019, 19:09

Buonasera,
ho un serbatoio cilindrico posto in orizzontale, di cui conosco le dimensioni. Il serbatoio contiene un liquido, di cui conosco il volume. Quello che devo calcolare è l'altezza del liquido.
Per capirci devo fare l'inverso di quanto calcolato qui.
Ovvero devo calcolare l'altezza h in figura.

Immagine

Conoscendo il volume e la lunghezza, posso ricavarmi l'area del segmento circolare
Quindi invertendo la formula ottengo: $\frac{2A}{R^2}=\theta - sin\theta$

Su un plc non saprei come ricavarmi $\theta$

Ho provato anche con $A=\frac{R\cdot(s-c)+c\cdot h}{2}$ ma alla fine è riconducibile sempre alla precedente.

Secondo voi c'è una soluzione alternativa?

Grazie

da **MarcoD** » 2 mar 2019, 21:00

Non sono capace a invertire la funzione
Ma se hai un serbatoio vero, ti servono dei numeri.
Puoi tabularla e poi introdotti i valori in una matrice, calcolare i valori intermedi con interpolazione lineare.
Non è elegante ma funziona O_/

da **LucaCassioli** » 2 mar 2019, 21:39

onire ha scritto:Quindi invertendo la formula ottengo: $\frac{2A}{R^2}=\theta - sin\theta$

Questa formula è sicuramente sbagliata, perché mischia pere e mele, cioè misure angolari e misure lineari (non puoi sottrarre metri a gradi, cioè $sin\theta$ a $\theta$ ).

Alla formula corretta sto lavorando. ;-)

da **LucaCassioli** » 2 mar 2019, 22:08

Pezzetto di soluzione...

Se metti in piedi il cilindro ti ritrovi che il liquido è alto Hp ed ha quindi volume Hp * pi * r^2.
Questo volume deve essere ovviamente uguale quando sdrai il cilindro, nel qual caso il volume è:
V = (pi * r^2 - As) * Htot
As = area segmento circolare
Htot = altezza cilindro

Quindi viene fuori:
As = pi * r^2 * (1- Hp/Htot)

Quindi As la conosci.
E siccome deve essere uguale a (r*(s-c) + c*h)/2 viene fuori:
2* pi * r^2 * (1- Hp/Htot) = r*(s-c) + c*h

Però poi...? :oops:

da **Praticamente** » 2 mar 2019, 22:17

Nessun serbatoio é un cilindro perfetto :mrgreen:

Per cui l approssimazione (2) andava bene, della 1. Penso intendesse (1/2)r2(θ - sinθ)l quando pieno sopra' meta e per differenza negli altri casi ma , usando l imnaginazione ci sarebbero soluzioni piu pratiche :mrgreen:

da 1* elementare

da **onire** » 2 mar 2019, 23:09

Buonasera a tutti,
Luca la formula non penso sia sbagliata, perché l'area del segmento circolare lo calcoli come differenza tra quella del settore circolare definito da $\theta$ e l'area della porzione triangolare.
La prima area la calcoli come $\frac{1}{2}R^2\theta$ . L'area del triangolo è pari a $\frac{1}{2} a\cdot b \cdot sin\gamma$ , che nel nostro caso a=b=R

e $\gamma=\theta$ quindi $A=\frac{1}{2} R^2 sin \theta$ .

Immagine

Ecco spiegato perché mischia mele con pere.

Praticamente ha scritto:usando l imnaginazione ci sarebbero soluzioni piu pratiche

Mi fai qualche esempio?
Grazie.

da **xyz** » 2 mar 2019, 23:16

L'angolo è in radianti quindi adimensionale, come il risultato di una funzione trigonometrica, la loro sottrazione non provoca problemi sulle unità di misura.

URL indicata prima:

https://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare

contiene una possibile soluzione approssimata utilizzando la serie di Taylor troncata al secondo termine non nullo di $\sin{\theta}$ .

La documentazione di Mathematica trova una soluzione approssimata al problema passando per una approssimazione della lunghezza dell'arco:

http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html

da **xyz** » 3 mar 2019, 12:58

Utilizzando Geogebra è possibile disegnare e fare i calcoli geometrici necessari. Geogebra non permette di calcolare l'area che ci interessa, viene calcolata come differenza tra l'area del settore circolare e il triangolo. Allego il file di Geogebra, i punti modificabili sono A e B, tutti gli altri dati sono poi aggiornati automaticamente.

Utilizzando come CAS (Computer Algebra System) Maxima e il suo front-end wxMaxima è possibile fare tutti i calcoli necessari per trovare una soluzione approssimata di

e poi verificarla con i valori di Geogebra.

Area del settore circolare:

Codice: Seleziona tutto: AC: (R^2 * theta) / 2;

${{R^2\,\theta}\over{2}}$

Lunghezza corda:

Codice: Seleziona tutto: c: R * sin(theta / 2) * 2;

$2\,R\,\sin \left({{\theta}\over{2}}\right)$

Altezza triangolo:

Codice: Seleziona tutto: d: R * cos(theta / 2);

$R\,\cos \left({{\theta}\over{2}}\right)$

Area triangolo:

Codice: Seleziona tutto: AT: trigreduce(c * d / 2);

${{R^2\,\sin \theta}\over{2}}$

Area segmento circolare:

Codice: Seleziona tutto: A: factor(AC - AT);

$-{{R^2\,\left(\sin \theta-\theta\right)}\over{2}}$

Se tentiamo di risolvere l'equazione rispetto a $\theta$ Maxima non trova nessuna soluzione valida.

Utilizziamo l'approssimazione di Taylor di $\sin \theta$ fino al 3 grado:

Codice: Seleziona tutto: T3: taylor(sin(theta), theta, 0, 3);

$\theta-{{\theta^3}\over{6}}+\cdots$

Utilizzando l'approssimazione di Taylor troviamo 3 soluzioni, 2 complesse e una reale, prendiamo quest'ultima:

Codice: Seleziona tutto: solve(ev(A, sin(theta) = T3) = 'A, theta)$ s:rootscontract(xthru(rhs(%[3])));

$\left({{12\,A}\over{R^2}}\right)^{{{1}\over{3}}}$

Con la soluzione approssimata possiamo calcolare l'altezza approssimata:

Codice: Seleziona tutto: h:rootscontract(ratsimp(ev(R - d, theta=s)));

$\left(1-\cos \left({{\left({{12\,A}\over{R^2}}\right)^{{{1}\over{3 }}}}\over{2}}\right)\right)\,R$

Sostituiamo i valori di Geogebra

Codice: Seleziona tutto: ev(h, R=3.81, A=2.17), float;

Troviamo un valore di

vicino al valore 0.72

di Geogebra. Maggiore è l'angolo $\theta$ maggiore è l'errore che si commette con all'approssimazione di Taylor.

Possiamo utilizzare il metodo delle tangenti (Newton-Raphson) per trovare, se possibile, una migliore soluzione numerica:

https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti

Puliamo tutta la memoria di Maxima, carichiamo il modulo con il codice per il metodo di Newton e impostiamo i dati numerici di partenza:

Codice: Seleziona tutto: kill(all)$ load ("newton1")$ dati:[R=3.81, A=2.17];

Per trovare la soluzione bisogna impostare un punto iniziale 0.1

e una tolleranza $10^{-4}$ :

Codice: Seleziona tutto: sol: newton(ev((R^2*(theta - sin(theta)))/2 - A, dati), theta, 0.1, 1E-4)$ float(sol * 180 / %pi); ev(R - R * cos(theta / 2), dati, theta=sol);

L'angolo $\theta$ in gradi sessadecimale e l'altezza

sono molto vicini ai valori di Geogebra quindi si tratta di una soluzione migliore.

da **Goofy** » 3 mar 2019, 14:09

Manca il dato fondamentale: perché lo chiedi, per che cosa ti serve?
Se è un problema pratico la soluzione è diversa rispetto a un esercizio scolastico.

da **LucaCassioli** » 3 mar 2019, 19:59

xyz ha scritto:Utilizzando Geogebra[...]

Non sarà facile implementare tutto questo in un PLC! :shock:

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