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Altezza liquido in un serbatoio

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto Utenteonire » 2 mar 2019, 19:09

Buonasera,
ho un serbatoio cilindrico posto in orizzontale, di cui conosco le dimensioni. Il serbatoio contiene un liquido, di cui conosco il volume. Quello che devo calcolare è l'altezza del liquido.
Per capirci devo fare l'inverso di quanto calcolato qui.
Ovvero devo calcolare l'altezza h in figura.

Immagine

Conoscendo il volume e la lunghezza, posso ricavarmi l'area del segmento circolare
Quindi invertendo la formula ottengo: \frac{2A}{R^2}=\theta - sin\theta

Su un plc non saprei come ricavarmi \theta :(

Ho provato anche con A=\frac{R\cdot(s-c)+c\cdot h}{2} ma alla fine è riconducibile sempre alla precedente.

Secondo voi c'è una soluzione alternativa?

Grazie
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[2] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 2 mar 2019, 21:00

Non sono capace a invertire la funzione
Ma se hai un serbatoio vero, ti servono dei numeri.
Puoi tabularla e poi introdotti i valori in una matrice, calcolare i valori intermedi con interpolazione lineare.
Non è elegante ma funziona O_/
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[3] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtenteLucaCassioli » 2 mar 2019, 21:39

onire ha scritto:Quindi invertendo la formula ottengo: \frac{2A}{R^2}=\theta - sin\theta

Questa formula è sicuramente sbagliata, perché mischia pere e mele, cioè misure angolari e misure lineari (non puoi sottrarre metri a gradi, cioè sin\theta a \theta).

Alla formula corretta sto lavorando. ;-)
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[4] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtenteLucaCassioli » 2 mar 2019, 22:08

Pezzetto di soluzione...

Se metti in piedi il cilindro ti ritrovi che il liquido è alto Hp ed ha quindi volume Hp * pi * r^2.
Questo volume deve essere ovviamente uguale quando sdrai il cilindro, nel qual caso il volume è:
V = (pi * r^2 - As) * Htot
As = area segmento circolare
Htot = altezza cilindro

Quindi viene fuori:
As = pi * r^2 * (1- Hp/Htot)


Quindi As la conosci.
E siccome deve essere uguale a (r*(s-c) + c*h)/2 viene fuori:
2* pi * r^2 * (1- Hp/Htot) = r*(s-c) + c*h

Però poi...? :oops:
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[5] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtentePraticamente » 2 mar 2019, 22:17

Nessun serbatoio é un cilindro perfetto :mrgreen:
Per cui l approssimazione (2) andava bene, della 1. Penso intendesse (1/2)r2(θ - sinθ)l quando pieno sopra' meta e per differenza negli altri casi ma , usando l imnaginazione ci sarebbero soluzioni piu pratiche :mrgreen: da 1* elementare
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[6] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto Utenteonire » 2 mar 2019, 23:09

Buonasera a tutti,
Luca la formula non penso sia sbagliata, perché l'area del segmento circolare lo calcoli come differenza tra quella del settore circolare definito da \theta e l'area della porzione triangolare.
La prima area la calcoli come \frac{1}{2}R^2\theta . L'area del triangolo è pari a \frac{1}{2}  a\cdot b \cdot sin\gamma , che nel nostro caso a=b=R e \gamma=\theta quindi A=\frac{1}{2} R^2 sin \theta .

Immagine

Ecco spiegato perché mischia mele con pere.

Praticamente ha scritto:usando l imnaginazione ci sarebbero soluzioni piu pratiche

Mi fai qualche esempio?
Grazie.
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[7] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto Utentexyz » 2 mar 2019, 23:16

L'angolo è in radianti quindi adimensionale, come il risultato di una funzione trigonometrica, la loro sottrazione non provoca problemi sulle unità di misura.

URL indicata prima:

https://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare

contiene una possibile soluzione approssimata utilizzando la serie di Taylor troncata al secondo termine non nullo di \sin{\theta}.

La documentazione di Mathematica trova una soluzione approssimata al problema passando per una approssimazione della lunghezza dell'arco:

http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html
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[8] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto Utentexyz » 3 mar 2019, 12:58

Utilizzando Geogebra è possibile disegnare e fare i calcoli geometrici necessari. Geogebra non permette di calcolare l'area che ci interessa, viene calcolata come differenza tra l'area del settore circolare e il triangolo. Allego il file di Geogebra, i punti modificabili sono A e B, tutti gli altri dati sono poi aggiornati automaticamente.

Utilizzando come CAS (Computer Algebra System) Maxima e il suo front-end wxMaxima è possibile fare tutti i calcoli necessari per trovare una soluzione approssimata di h e poi verificarla con i valori di Geogebra.

Area del settore circolare:

Codice: Seleziona tutto
AC: (R^2 * theta) / 2;

{{R^2\,\theta}\over{2}}

Lunghezza corda:

Codice: Seleziona tutto
c: R * sin(theta / 2) * 2;

2\,R\,\sin \left({{\theta}\over{2}}\right)

Altezza triangolo:

Codice: Seleziona tutto
d: R * cos(theta / 2);

R\,\cos \left({{\theta}\over{2}}\right)

Area triangolo:

Codice: Seleziona tutto
AT: trigreduce(c * d / 2);

{{R^2\,\sin \theta}\over{2}}

Area segmento circolare:

Codice: Seleziona tutto
A: factor(AC - AT);

-{{R^2\,\left(\sin \theta-\theta\right)}\over{2}}

Se tentiamo di risolvere l'equazione rispetto a \theta Maxima non trova nessuna soluzione valida.

Utilizziamo l'approssimazione di Taylor di \sin \theta fino al 3 grado:

Codice: Seleziona tutto
T3: taylor(sin(theta), theta, 0, 3);

\theta-{{\theta^3}\over{6}}+\cdots

Utilizzando l'approssimazione di Taylor troviamo 3 soluzioni, 2 complesse e una reale, prendiamo quest'ultima:

Codice: Seleziona tutto
solve(ev(A, sin(theta) = T3) = 'A,  theta)$
s:rootscontract(xthru(rhs(%[3])));

\left({{12\,A}\over{R^2}}\right)^{{{1}\over{3}}}

Con la soluzione approssimata possiamo calcolare l'altezza approssimata:

Codice: Seleziona tutto
h:rootscontract(ratsimp(ev(R - d, theta=s)));

\left(1-\cos \left({{\left({{12\,A}\over{R^2}}\right)^{{{1}\over{3
 }}}}\over{2}}\right)\right)\,R

Sostituiamo i valori di Geogebra

Codice: Seleziona tutto
ev(h, R=3.81, A=2.17), float;

0.6817573258815038

Troviamo un valore di h vicino al valore 0.72 di Geogebra. Maggiore è l'angolo \theta maggiore è l'errore che si commette con all'approssimazione di Taylor.

Possiamo utilizzare il metodo delle tangenti (Newton-Raphson) per trovare, se possibile, una migliore soluzione numerica:

https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti

Puliamo tutta la memoria di Maxima, carichiamo il modulo con il codice per il metodo di Newton e impostiamo i dati numerici di partenza:

Codice: Seleziona tutto
kill(all)$
load ("newton1")$
dati:[R=3.81, A=2.17];


Per trovare la soluzione bisogna impostare un punto iniziale 0.1 e una tolleranza 10^{-4}:

Codice: Seleziona tutto
sol: newton(ev((R^2*(theta - sin(theta)))/2 - A, dati),  theta, 0.1, 1E-4)$
float(sol * 180 / %pi);
ev(R - R * cos(theta / 2), dati, theta=sol);


71.4489092927664
0.716910976707712

L'angolo \theta in gradi sessadecimale e l'altezza h sono molto vicini ai valori di Geogebra quindi si tratta di una soluzione migliore.
Allegati
segmento_circolare.zip
Sorgente Geogebra
(8.32 KiB) Scaricato 1 volta
2019-03-03_10-51.png
Geogebra
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[9] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtenteGoofy » 3 mar 2019, 14:09

Manca il dato fondamentale: perché lo chiedi, per che cosa ti serve?
Se è un problema pratico la soluzione è diversa rispetto a un esercizio scolastico.
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[10] Re: Altezza liquido in un serbatoio

Messaggioda Foto UtenteLucaCassioli » 3 mar 2019, 19:59

xyz ha scritto:Utilizzando Geogebra[...]

Non sarà facile implementare tutto questo in un PLC! :shock:
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