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Esercizio sui filtri attivi

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[1] Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto Utentenovizio » 7 mag 2019, 23:58

Salve.

Ho il seguente esercizio.

Il segnale Vout(t) in uscita ad un certo sistema elettronico è la risultante di più componenti armoniche come di seguito rappresentate:

V_{out}(t)=\sum_{k=1}^{4}V_{k}sin(\omega _{k}t)

dove:

V_{k}=\frac{12}{k}10^{-3}[V]

e

\omega _{k}=8\cdot k^{3}\cdot 10^{3}[rad/s]

Si determini l’ordine del filtro da utilizzare in modo da garantire un guadagno alla frequenza della prima armonica pari a 18 dB e non superiore a -5 dB per la seconda armonica. Si progetti quindi il sistema filtrante giustificando le scelte effettuate.

(tratto dall’esame di Stato di Elettrotecnica ed Elettronica, articolazione Elettronica, del 2016)

La soluzione non mi sembra impossibile. Però, ho un paio di dubbi che volevo qui mostrare.

Allora, l’espressione analitica della tensione d’uscita, secondo quanto riportato dalla traccia, risulta:

V_{out}(t)=12\cdot sin(8\cdot 10^{3}t)+6\cdot sin(64\cdot 10^{3}t)+4\cdot sin(216\cdot 10^{3}t)+3\cdot sin(2048\cdot 10^{3}t) [mV]

Le frequenze delle prime due armoniche valgono:

f_{1}=\frac{\omega _{1}}{2\pi }=1273[Hz]

e

f_{2}=\frac{\omega _{2}}{2\pi }=10.186[Hz]

Ora determino la pendenza minima richiesta da un filtro (evidentemente) passa-basso.

p_{min}=\frac{\alpha _{2}-\alpha _{1}}{logf_{2}-logf_{1}}=\frac{18-(-5)}{4-3,1}=25,69

E qui ho il primo dubbio e riguarda l'unità di misura di pmin: mi verrebbe da dire dB e non dB/Hz. perché? perché in fisica l'argomento di una funzione trascendente (come il logaritmo) deve essere sempre un numero puro. E lo è anche il risultato della funzione stessa. E' corretto? Oppure è una boiata (scusate il francesismo)? E, se fosse corretto, che significato avrebbe pmin? Non certo quello di una pendenza, semmai quello dell'escursione, in dB, compiuta dal guadagno in quell'intervallo di frequenza.

Ed ora vengo al secondo dubbio.

E' evidente che un filtro del primo ordine non risponde in modo adeguato alla richiesta della traccia. Ciò in quanto in un intervallo inferiore ad una decade si ha una diminuzione del guadagno superiore, in valore assoluto, a 20 dB.
La domanda, allora, è: un filtro del secondo ordine, sarà sufficiente? Ovvero, una pendenza di -40 dB/decade, risponderà a quanto richiesto dal tema? Se devo rispondere "ad occhio" direi di si! Ma come diceva un vecchio amico, occorre sempre fare il calcolo. E allora, come calcolo l'escursione del guadagno in una decade? Diciamo da 1273 Hz a 12730 Hz? Ecco, questo è il mio secondo dubbio.

Ho pensato a qualcosa ma, credo, non abbia la giusta decenza per essere proposto (in sostanza ho timore di "impicciarmi" con qualche "inghippo" legato alla natura logaritmica dell'asse delle frequenze).

Grazie per la pazienza.
:-)
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[2] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 8 mag 2019, 18:23

Hai scritto un buon post, ponendo domande interessanti :-) ,
alle quali purtroppo non so rispondere bene :oops:

Per la prima domanda, mi ricordo suonare bene la pendenza di attenuzione asintotica in " dB per decade (di frequenza)" la scala ascisse è in logaritmo della frequenza.
dB/Log(Hz/Hz) ? non saprei

Per la seconda domanda un filtro del secondo ordine Butteworth con due celle del primo ordine coincidenti in cascata, ha una pendenza asintotica di 40 dB/decade, basta che i poli siano a frequenza sufficentemente bassa e dovrebbe andar bene. Teoricamente il guadagno di 18 dB a F1 lo potresti sempre ottenere con un opportuno guadagno.

Sono curioso di leggere gli interventi di persone più competenti di me.
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[3] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 8 mag 2019, 18:49

novizio ha scritto:Ora determino la pendenza minima richiesta da un filtro (evidentemente) passa-basso.

p_{min}=\frac{\alpha _{2}-\alpha _{1}}{logf_{2}-logf_{1}}=\frac{18-(-5)}{4-3,1}=25,69

... l'unità di misura di pmin: mi verrebbe da dire dB e non dB/Hz.
... in fisica l'argomento di una funzione trascendente (come il logaritmo) deve essere sempre un numero puro. E lo è anche il risultato della funzione stessa. ...


L'argomento del logaritmo deve essere un numero puro, esatto. Riguarda dunque la tua espressione: puoi notare che in realtà come argomento del logaritmo hai una frequenza. E' giusto? E' sbagliato?
Dal punto di vista formale, è ovviamente sbagliato (a rigore andrebbe scritto log\left(\frac{f}{1\text{Hz}}\right); dobbiamo capire il messaggio che si vuole trasmettere.
Considera un grafico con scale lineari. Hai due punti (x1,y1) ed (x2,y2). La pendenza del segmento che unisce questi due punti è banalmente: \frac{y2-y1}{x2-x1}
La tua formula altro non è che questo, una pendenza, in un grafico dove l'asse x è plottato come logaritmico.
La variazione in y è una variazione di decibel, la variazione in x è una variazione di decadi di frequenza.
Quell'oggetto sarà pertanto dB/decade (immagino tu abbia scritto che la dimensione era in dB perché consideri la decade come un numero puro, quindi resta il dB... considera però che anche i dB sono numeri puri! Dal punto di vista formale delle unità di misura, quello è un numero puro, ma nella pratica si indica come dB/decade)


novizio ha scritto: come calcolo l'escursione del guadagno in una decade? Diciamo da 1273 Hz a 12730 Hz?


Partiamo dagli esempi semplici.
Quante decadi di frequenza ci sono fra 1Hz e 10Hz? 1.
Quante decadi di frequenza ci sono fra 1Hz e 100Hz? 2.
...
da dove saltano fuori questi numeri, facili da ottenere intuitivamente (ed altrettanto facili da ottenere con le formule)? Calcola il logaritmo:
log_{10}(1)=0, log_{10}(10)=1, differenza 1
log_{10}(1)=0, log_{10}(100)=2, differenza 2

Nel tuo problema dunque quante decadi ci sono tra 1273 Hz e 12730 Hz? Esattamente 1! perché? perché
log_{10}(12730) - log_{10}(1273)
o ancor meglio (per avere una visione più chiara di cosa succede) usa le proprietà dei logaritmi:
log_{10}(12730) - log_{10}(1273) = log_{10}(1273 \times 10^1) - log_{10}(1273) =
log_{10}(\frac{1273 \times 10^1}{1273}) = log_{10} 10 = 1
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[4] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto Utentenovizio » 8 mag 2019, 22:44

Grazie Marco per l'intervento. Attendo anch'io l'intervento di chi è più esperto di me per aiutare a chiarirmi i dubbi espressi.
:-)
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[5] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto Utentenovizio » 8 mag 2019, 23:06

Salve DrCox, innanzitutto grazie per il contributo.

Dal punto di vista formale, è ovviamente sbagliato (a rigore andrebbe scritto log\left(\frac{f}{1\text{Hz}}\right); dobbiamo capire il messaggio che si vuole trasmettere.


Questa è per me una novità: interessante! Naturalmente mi piacerebbe capirne anche la ragione. Da come la scrivi sembrerebbe che l'argomento del logaritmo debba essere un numero puro che esprime quante volte, la frequenza generica, deve essere più grande rispetto alla frequenza unitaria.

Sul concetto di pendenza ci sono; o, almeno, ci sono quando si tratta della pendenza di una retta la cui equazione è quella che conosciamo quando il riferimento cartesiano è lineare-lineare. In sostanza sto parlando della nota equazione:

y=mx+q

Viceversa, quando l'asse delle ascisse è logaritmico, allora ho alcune perplessità. Se indico con G il guadagno in dB potrei scrivere:

G=m\cdot log_{10}(f)+q

Che sembra l'equazione di una retta, con coefficiente angolare m ed intercetta q. Il valore di m sarebbe quello che ho calcolato nel post di apertura. Ma il valore di q?

Sul valore di q ho molte perplessità. Intanto, trattandosi di un asse logaritmico, non esiste l'origine degli assi. O, meglio, mentre esiste il livello 0 per l'asse delle ordinate, quello relativo all'asse delle ascisse si trova a -\infty.

E quindi, per q, mi sembra di poter concludere che debba valere +\infty. Ma questo, operativamente, non mi aiuta molto!


Quell'oggetto sarà pertanto dB/decade (immagino tu abbia scritto che la dimensione era in dB perché consideri la decade come un numero puro, quindi resta il dB... considera però che anche i dB sono numeri puri! Dal punto di vista formale delle unità di misura, quello è un numero puro, ma nella pratica si indica come dB/decade)


Perfettamente d'accordo sulle considerazioni svolte in merito alle unità di misura. Ma se ho ben compreso, tu ritieni che il calcolo che ho eseguito significhi 25,69 dB/decade. Ma non mi sembra che sia così. Lo dico perché l'intervallo di frequenza che ho usato per il calcolo del denominatore di quella frazione non è una decade ma circa il 90% di questa. Quindi, quell'escursione, 25,69 dB, non avviene in una decade ma in un intervallo inferiore di frequenza. E, se quel che sto affermando è corretto, in una decade avremo un'escursione maggiore di 25,69 dB. Ed è proprio tale valore di escursione che sto cercando di conoscere.
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[6] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 9 mag 2019, 7:29

Ho meditato aggirando da semipragmatico il problema:
20 dB/decade sono 6 dB/ottava
10184 / 1273 = 8 sono esattamente 3 ottave.
Qundi 18 dB per polo del primo ordine >> 36 dB due poli in cascata.
Se fissiamo i due poli a 1273 Hz, l'attenuazione nel punto 1273 Hz sarà 2 x 3 = 6 dB.
Qundi l'attenuazione a 10184 sarà di 36 - 6 = 30 dB maggiore dei 25,69 dB richiesti.
Due celle primo ordine vanno bene. :ok:
Due celle RC ognuna all'ingresso di un operazionale connesso come voltage follower vanno bene,
Non sono critiche. poi forse è possibile fare meglio.
Poi si vuole guadagnare 18 dB a 1273. Se ne perdono 6 , si deve poi amplificare
per 24 db >> x 15,85 Uno stadio invertente con R1 10K e R2 158K;
R 150k + 8,2k 5% in serie? potenziometro di taratura ? Precisione richiesta/tolleranza?
Passerei ancora l'esame di stato :-)
Alle fine è un problema vecchio di almeno 60 anni ( filtri attivi, utilizzo di amplificatori operazionali).
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[7] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 9 mag 2019, 8:24

Innanzitutto, noto ora, non usare il punto per separare le migliaia. Quel 10.186 sembra un dieci virgola...

novizio ha scritto: 25,69 dB/decade. Ma non mi sembra che sia così. Lo dico perché l'intervallo di frequenza che ho usato per il calcolo del denominatore di quella frazione non è una decade ma circa il 90% di questa. Quindi, quell'escursione, 25,69 dB, non avviene in una decade ma in un intervallo inferiore di frequenza. E, se quel che sto affermando è corretto, in una decade avremo un'escursione maggiore di 25,69 dB. Ed è proprio tale valore di escursione che sto cercando di conoscere.


Qua stai facendo confusione tra l'escursione di un segnale nel passaggio da (x1,y1) a (x2,y2), e la pendenza del segmento che li colega.
Quei 25.69 dB/decade sono la pendenza della curva, non è la variazione in dB del segnale da un punto all'altro! La variazione è quella che hai scritto a numeratore che, infatti, è inferiore a questi 25.69dB in quanto stai colegando due punti che distano meno di una decade
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[8] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 9 mag 2019, 8:27

MarcoD ha scritto:Due celle RC ognuna all'ingresso di un operazionale

Concettualmente è corretto, ma attenzione che le prestazioni della cascata di due filtri del primo ordine non è identica a quella di un filtro del secondo ordine. E' un po' come suggerire che, per fare un passabanda, basti mettere in serie un passabasso ed un passaalto (cosa sbagliatissima)
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[9] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 9 mag 2019, 9:57

Assodato che filtro deve essere
del secondo ordine, la fdt è:

\frac{K}{(T \cdot j \cdot \omega +1)^2}

occorre derminare K e T in base ai guadagni in \omega_1 e \omega_2:
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[10] Re: Esercizio sui filtri attivi

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 9 mag 2019, 10:53

Una nota per evitare logaritmi e decibel. la differenza di attenuazione alla frequenza f e 8f deve essere di 23dB, che vogliono dire 14 volte.

Una pendenza di 20dB/decade e` un modo complicato per dire che presi due qualunque punti su un tratto (asintotico) con quella pendenza, il rapporto delle frequenze e` pari al rapporto delle amplificazioni (in volte, non in decibel).
Una pendenza di 40dB/decade e` un modo complicato per dire che presi due qualunque punti su un tratto (asintotico) con quella pendenza, il rapporto delle frequenze al quadrato e` pari al rapporto delle amplificazioni (in volte, non in decibel).

Con un filtro del primo ordine, con un rapporto di 8 volte in frequenza si ottiene al massimo una attenuazione di 8 volte, che non bastano. Con un filtro del secondo ordine, a un rapporto di 8 volte in frequenza corrisponde una attenuazione di 64 volte, queste bastano.

Questi sono conti sui diagrammi asintotici che il piu` delle volte bastano e avanzano. Nel caso dei filtri bisogna considerare qual e` la massima attenuazione (o ripple dell'attenuazione) in banda, per cui i conti forse devono essere fatti con maggiore accuratezza.

In ogni caso la pendenza asintotica in funzione dell'ordine del filtro e` sempre la stessa: 20dB/decade per ogni unita` dell'ordine del filtro.

Quando si vanno a scegliere famiglie diversi di filtri (ad esempio Butterworth, Chebyshëv, Bessel...) la pendenza asintotica che si ottiene e` sempre la stessa a parita` di ordine, quello che cambia e` quanto in fretta capita la variazione di pendenza fra banda passante e attenuata.
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