Esercizio di probabilità

[Ianero]

Nelle seguenti due pagine del testo Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici, Athanasios Papoulis, Boringhieri:

viene spiegato molto bene che, per questo esercizio specifico, la probabilità associata ad un rettangolo uguaglia la sua area divisa per .
Fino a quella frase tutto ok.
Immediatamente dopo l'autore scrive:

Un evento arbitrario (insieme bidimensionale di Borel) può essere scritto come limite di somme di intervalli disgiunti. Pertanto, se la sua area è , otteniamo dalla [2.46] e dall'assioma IIIa (*), che:

Non riesco a capire come riesca a fare questa conclusione: mica è vero che tutte le superfici piane possibili di area si possono sempre esprimere come unione numerabile di rettangoli?


Grazie in anticipo.


(*) trattasi dell'assioma sull'additività infinita: data una famiglia numerabile di insiemi a coppie disgiunti, la probabilità associata alla famiglia è la somma numerabile delle probabilità associate a ogni elemento della famiglia.

[DrCox]

Non riesco a capire come riesca a fare questa conclusione: mica è vero che tutte le superfici piane possibili di area si possono sempre esprimere come unione numerabile di rettangoli?

La spiegazione formale non so dartela, ma faccio una controdomanda:

mica è vero che tutte le superfici piane possibili di area si possono sempre esprimere come unione numerabile di rettangoli?

A no? Nemmeno se consideri il limite per l'area di questi rettangoli tendente a zero?
E' un po' come dire che l'area sottesa da una curva non possa essere espressa come somme delle aree di rettangoli (calcolo dell'integrale per via discreta): nel limite per dimensione della base di questi rettangoli tendente a zero, la somma delle aree di questi rettangoli tende all'area sottesa dalla curva.
Mi sembra che il problema della superficie arbitraria in uno spazio bidimensionale rappresenti lo stesso identico problema. No?

[Ianero]

Ciao e grazie.
Immagino sia come dici, ma cercavo proprio una motivazione formale, una dimostrazione.
Non credo si possa usare la definizione di integrale definito perché è un po’ più sottile di questa.

[fairyvilje]

Non capisco il problema, perché un integrale di Lebesgue non dovrebbe essere abbastanza per definire una misura? Tutto questo viene descritto nella teoria assiomatica della probabilità che si basa sul concetto di sigma-algebra e qualche altro componente.
Guarda qui se non hai già incontrato queste cose prima :) https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms

[Ianero]

Ciao fairyvilje, il problema è, al di la degli assiomi della teoria della misura di cui il libro ancora non parla (e neanche di Lebesgue), il seguente:
una superficie qualsiasi si può sempre scrivere come unione numerabile di rettangoli?

[fairyvilje]

No non in generale. L'assioma della scelta per esempio ti permette di costruire dei mostri non misurabili.
Tuttavia nel contesto della teoria assiomatica se ricordo bene è così, un ipervolume lo puoi decomporre in modo arbitrario, valutare la misura delle sue componenti e sommarle insieme. Ottieni così l' iper-volume originale. Che è appunto uno degli assiomi su cui si basa la teoria delle probabilità.
Il modo in cui dividi il tutto è arbitrario, basta che siano oggetti non intersettivi. Una decomposizione in un insieme infinitamente enumerabile di rettangoli è quindi ok, e nel limite di questi che vanno ad infinito dovresti ottenere la misura originale. Euristicamente col processo di limite ti ritrovi solo con rettangoli riempiti o rettangoli vuoti, a seconda della funzione caratteristica dell'insieme che misuri. La misura di uno di questi rettangolini è banale da valutare e facendo la somma di tutti ottieni la misura dell'oggetto iniziale.
Volendolo dimostrare ci vuole un po' più di fatica e latex.

[Ianero]

Scusa se sono di coccio...
Non ho capito come giustificheresti l’affermazione dell’autore: l’assioma sull’additività al più numerabile delle probabilità dice che se un insieme lo scomponi, ad esempio, come unione numerabile di insiemi disgiunti (rettangoli nel nostro caso) allora la probabilità la ottieni come somma delle probabilità associate ai singoli insiemi disgiunti.
Ma questo non giustifica l’affermazione del libro, che immagino non abbia niente a che vedere con la probabilità, ma più con la teoria degli insiemi.

Grazie comunque.

[fairyvilje]

E quello che dicevo è che la teoria della misura da delle condizioni affinché la decomposizione di un volume abbia successo e quindi questa somma corrisponda a quello che deve corrispondere.
Come detto non vale in generale, non tutti gli insiemi possono essere ridotti ad una famiglia infinita enumerabile di oggetti semplici (questa parola ha un senso specifico nella teoria della misura). Ci sono delle condizione legate ai sottoinsiemi di misura nulla che "bucano" l'insieme originale. Per questo dicevo di guardare come funzionava il concetto di misura di Lebesgue, perché formalizza quella che a mio avviso è la tua domanda.

Sempre che io abbia capito cosa stai chiedendo .

[Ianero]

Ah okay, va bene allora non me lo posso spiegare con le mie conoscenze attuali, devo studiare teoria della misura.
Grazie

[fairyvilje]

Allora fino ad allora non preoccuparti di queste questioni tecniche perché non sono limitanti. Davvero l'insieme delle situazioni dove si hanno oggetti non misurabili condizionato al fatto che non lo stia facendo apposta ha misura zero, e quindi non avviene mai (in senso debole ).

Meta-jokes a parte quello che ho scritto è vero, in situazioni del genere non ti ci imbatti se non le vuoi costruire in modo artificiale, deliberato ed al di fuori di ogni applicabilità* ingegneristica/fisica.

*A me nota. Ma realisticamente si può avere una matematica alternativa senza assioma della scelta nella teoria degli insiemi quindi la cosa non mi preoccupa per il futuro.